A mindennapi életben gyakran találkozunk olyan helyzetekkel, ahol szögekkel kell dolgoznunk – legyen szó építkezésről, navigációról vagy akár egy egyszerű rajz elkészítéséről. Ezekben a pillanatokban sokszor fel sem tűnik, hogy milyen sokféle szögtípus létezik, és mindegyiknek megvan a maga egyedi tulajdonsága és szerepe.
A homorúszög olyan szögtípus, amely 180 és 360 fok között helyezkedik el, tehát nagyobb az egyenes szögnél, de kisebb a teljes szögnél. Ezt a fogalmat különböző szempontokból közelíthetjük meg: geometriai, gyakorlati és elméleti oldalról egyaránt. A homorúszög megértése nemcsak a matematikai tudásunkat gazdagítja, hanem segít a térbeli gondolkodásban és a valós problémák megoldásában is.
Ebben az írásban mélyrehatóan megismerkedhetsz a homorúszög minden aspektusával. Megtudhatod, hogyan azonosítsd őket, milyen tulajdonságaik vannak, és hogyan alkalmazhatod ezt a tudást a gyakorlatban. Részletes példákon keresztül láthatod, hogyan működnek ezek a szögek a valóságban, és milyen hibákat érdemes elkerülni a számításaik során.
Mi is pontosan a homorúszög?
A geometriában a szögeket nagyságuk szerint osztályozzuk különböző kategóriákba. A homorúszög ebben a rendszerben egy speciális helyet foglal el, mivel nagyobb 180 foknál, de kisebb 360 foknál. Ez azt jelenti, hogy amikor két egyenes találkozik és homorúszöget zár be, az egyik szár mintegy "visszafordul" a másik felé képest.
A homorúszög megértéséhez fontos tisztában lenni azzal, hogy ez a szögtípus valójában a domborúszög kiegészítője. Míg a domborúszög kisebb 180 foknál, addig a homorúszög nagyobb ennél az értéknél. Ez a kapcsolat különösen fontos a geometriai számításokban és bizonyításokban.
Vizuálisan a homorúszög olyan, mintha egy "befelé görbülő" szöget látnánk. Képzeljük el egy óra számlapját: ha a két mutató között mért szög nagyobb 180 foknál, akkor homorúszögről beszélünk. Ez a típusú szög gyakran előfordul az építészetben, mérnöki munkákban és különböző technikai rajzokon.
A homorúszög főbb jellemzői
Alapvető tulajdonságok
A homorúszögek rendelkeznek néhány egyedi tulajdonsággal, amelyek megkülönböztetik őket más szögtípusoktól. Ezek a jellemzők nemcsak elméleti szempontból fontosak, hanem gyakorlati alkalmazásokban is kulcsszerepet játszanak.
Az egyik legfontosabb tulajdonság, hogy a homorúszög mindig nagyobb a félkörszögnél (180°). Ez azt jelenti, hogy ha egy homorúszöget félbe osztunk, mindkét részszög kisebb lesz 180 foknál, tehát domborúszögeket kapunk. Ez a tulajdonság hasznos lehet különböző geometriai konstrukciókban és számításokban.
A homorúszögek trigonometriai függvényei is speciális viselkedést mutatnak. A szinusz és koszinusz értékek ebben a tartományban negatív értékeket is felvehetnek, ami fontos szempont a matematikai modellek készítése során.
Mérési módszerek
A homorúszögek mérése során különös figyelmet kell fordítani arra, hogy melyik szöget mérjük valójában. Amikor két egyenes találkozik, négy szöget hoznak létre, és ebből kettő lesz homorúszög, kettő pedig domborúszög.
A szögmérő használata során fontos meghatározni a referencia irányt és a mérés irányát. A homorúszögek esetében gyakran az óramutató járásával ellentétes irányban mérünk, bár ez függ a konkrét alkalmazástól és a használt koordináta-rendszertől.
Modern mérőeszközök, mint például a digitális szögmérők, gyakran automatikusan felismerik a szögtípust és megfelelően jelzik a homorúszög értékét. Ez jelentősen megkönnyíti a precíz méréseket és csökkenti a hibalehetőségeket.
Gyakorlati példa: Homorúszög számítása lépésről lépésre
Vegyünk egy konkrét példát a homorúszög kiszámítására. Tegyük fel, hogy egy épület sarkánál két fal 240 fokos szöget zár be egymással. Ez egy tipikus homorúszög, amellyel építési projektek során gyakran találkozhatunk.
1. lépés: Adatok azonosítása
- Adott szög: 240°
- Ellenőrizzük, hogy valóban homorúszögről van-e szó: 180° < 240° < 360° ✓
2. lépés: Kiegészítő szög számítása
A homorúszög domború párja: 360° – 240° = 120°
Ez hasznos lehet, ha a kisebb szöggel egyszerűbb számolni.
3. lépés: Trigonometriai értékek meghatározása
- sin(240°) = -√3/2 ≈ -0,866
- cos(240°) = -1/2 = -0,5
- tg(240°) = √3 ≈ 1,732
4. lépés: Gyakorlati alkalmazás
Ha ezt a szöget egy építési projektben használjuk, fontos tudni, hogy a 240°-os szög milyen térbeli elrendezést jelent a szerkezeti elemek között.
Gyakori hibák a homorúszögek kezelésében
Mérési pontatlanságok
Az egyik leggyakoribb hiba a homorúszögek mérése során az, hogy nem vesszük figyelembe a megfelelő referenciapontot. Sok esetben az emberek automatikusan a kisebb szöget mérik meg, holott a feladat a homorúszög meghatározását kéri.
Hibás megközelítés: Két egyenes találkozásánál csak a 60°-os szöget észleljük.
Helyes megközelítés: Felismerjük, hogy a homorúszög 360° – 60° = 300°.
A koordináta-rendszer helytelen értelmezése szintén gyakori probléma. Különböző matematikai és mérnöki alkalmazásokban eltérő konvenciók léteznek a szögek mérésére vonatkozóan, és ezek összekeverése komoly hibákhoz vezethet.
Számítási tévedések
A trigonometriai függvények kiszámítása során gyakran előfordul, hogy elfelejtjük figyelembe venni a homorúszögek speciális tulajdonságait. A 180°-nál nagyobb szögek esetében a szinusz és koszinusz függvények előjele változhat, ami befolyásolja a végeredményt.
Fontos megjegyezni, hogy a kalkulátorok különbözőképpen kezelhetik a nagy szögeket. Néhány eszköz automatikusan a 0° és 360° közötti tartományra redukálja az értékeket, míg mások megtartják az eredeti szögértéket.
Homorúszögek a különböző matematikai területeken
Geometriai alkalmazások
A síkgeometriában a homorúszögek fontos szerepet játszanak a poligonok belső szögeinek számításában. Különösen a konkáv sokszögek esetében találkozunk homorúszögekkel, ahol egy vagy több belső szög meghaladja a 180 fokot.
Ezekben az esetekben a terület számítása bonyolultabbá válik, mivel a hagyományos képletek nem minden esetben alkalmazhatók közvetlenül. Speciális módszereket kell alkalmazni, amelyek figyelembe veszik a homorúszögek jelenlétét.
A körgeometriában is előfordulnak homorúszögek, különösen a körívek és húrok közötti kapcsolatok vizsgálatakor. Egy körív által bezárt központi szög lehet homorúszög, ha a körív hosszabb a félkörnél.
Trigonometriai kapcsolatok
A trigonometriában a homorúszögek kezelése speciális figyelmet igényel. A standard trigonometriai függvények (szinusz, koszinusz, tangens) értékei ebben a tartományban különleges viselkedést mutatnak.
🔄 A periodicitás miatt egy homorúszög trigonometriai értékei kapcsolatban állnak kisebb szögek értékeivel
📊 A függvények előjelei változnak a különböző kvadránsokban
🎯 A reciprok függvények (kotangens, szekanusz, koszekans) szintén speciális értékeket vesznek fel
⚡ Az összetett trigonometriai identitások alkalmazása során fokozott óvatosság szükséges
🔍 A grafikus ábrázolás segíthet a helyes értékek meghatározásában
| Szögtartomány | Szinusz előjele | Koszinusz előjele | Tangens előjele |
|---|---|---|---|
| 180° – 270° | Negatív | Negatív | Pozitív |
| 270° – 360° | Negatív | Pozitív | Negatív |
Valós világbeli alkalmazások
Építészet és mérnöki tudományok
Az építészetben a homorúszögek gyakran előfordulnak különleges építészeti megoldások esetében. Gondoljunk csak a modern épületek aszimmetrikus formáira, ahol a falak nem hagyományos derékszögben találkoznak egymással.
A szerkezeti mérnökök számára kritikus fontosságú a homorúszögek pontos kiszámítása, különösen a terhelések és feszültségek elemzése során. Egy rosszul számított szög jelentős biztonsági kockázatot jelenthet egy építmény stabilitása szempontjából.
A hidak tervezésénél is gyakran találkozunk homorúszögekkel, különösen az ívhidak és a ferdekábeles hidak esetében. Ezekben a konstrukciókban a kábelek és tartószerkezetek közötti szögek precíz meghatározása elengedhetetlen a biztonságos működéshez.
Navigáció és térképészet
A navigációban a homorúszögek szerepe különösen fontos a irányváltozások és útvonaltervezés során. A GPS rendszerek és térképészeti alkalmazások gyakran használnak homorúszögeket a pontos helymeghatározáshoz és útvonalak kiszámításához.
Hajózási és repülési alkalmazásokban a irányszögek kiszámítása során rendszeresen előfordulnak homorúszögek. Egy repülőgép kurzusváltoztatásakor vagy egy hajó manőverezésekor a navigációs rendszereknek pontosan kell kezelniük ezeket a szögeket.
"A homorúszögek helyes értelmezése és számítása alapvető fontosságú minden olyan területen, ahol a térbeli orientáció és a precíz szögmérés kritikus szerepet játszik."
Számítási módszerek és képletek
Alapvető számítások
A homorúszögekkel végzett számítások során több módszert alkalmazhatunk, attól függően, hogy milyen típusú problémával állunk szemben. Az alapvető aritmetikai műveletek mellett trigonometriai és geometriai módszereket is használnunk kell.
Az összeadás és kivonás esetében figyelembe kell venni, hogy a szögek ciklikus természetűek. Ha két homorúszöget adunk össze, az eredmény meghaladhatja a 360 fokot, ekkor a teljes fordulatokat le kell vonni a végeredményből.
A szorzás és osztás műveletei során különös óvatossággal kell eljárni. Egy homorúszög felezése mindig két domborúszöget eredményez, míg egy domborúszög kétszerese lehet homorúszög is.
Speciális képletek
A homorúszögek trigonometriai számításaihoz speciális képleteket használunk, amelyek figyelembe veszik ezeknek a szögeknek az egyedi tulajdonságait.
A redukciós képletek segítségével egy homorúszög trigonometriai értékeit kiszámíthatjuk egy megfelelő domborúszög értékeiből. Például: sin(240°) = sin(240° – 180°) = -sin(60°) = -√3/2.
| Homorúszög | Megfelelő domborúszög | Szinusz érték | Koszinusz érték |
|---|---|---|---|
| 210° | 30° | -1/2 | -√3/2 |
| 225° | 45° | -√2/2 | -√2/2 |
| 240° | 60° | -√3/2 | -1/2 |
| 300° | 60° | -√3/2 | 1/2 |
| 315° | 45° | -√2/2 | √2/2 |
| 330° | 30° | -1/2 | √3/2 |
Kapcsolat más szögtípusokkal
Domborúszögekkel való kapcsolat
A homorúszögek és domborúszögek közötti kapcsolat alapvető fontosságú a geometriában. Minden homorúszöghez tartozik egy kiegészítő domborúszög, amellyel együtt 360 fokot alkot. Ez a kapcsolat különösen hasznos számítások során.
A komplementer és szupplementer szögek fogalma is kiterjeszthető a homorúszögekre. Bár hagyományosan ezeket a fogalmakat domborúszögekre alkalmazzuk, a homorúszögek esetében is léteznek hasonló kapcsolatok.
Gyakorlati alkalmazásokban gyakran előfordul, hogy egy homorúszög helyett a hozzá tartozó domborúszöggel számolunk, mert az könnyebben kezelhető. Ezt a technikát különösen a trigonometriai számításokban alkalmazzák.
Egyenes és tompaszögekkel való viszony
A homorúszög nagyobb az egyenes szögnél (180°), de kisebb a teljes szögnél (360°). Ez a pozíció egyedi tulajdonságokat kölcsönöz neki a geometriai rendszerben.
Érdekes módon egy homorúszög mindig tartalmaz egy egyenes szöget, ha megfelelően osztjuk fel. Ez a tulajdonság hasznos lehet bizonyos geometriai konstrukciók és bizonyítások során.
A tompaszögekkel (90° és 180° közötti szögek) való kapcsolat szintén figyelemre méltó. Egy homorúszög mindig nagyobb bármely tompaszögnél, és ez a hierarchikus viszony fontos a szögek osztályozásában.
Mérési eszközök és technikák
Hagyományos eszközök
A homorúszögek mérésére szolgáló hagyományos eszközök között megtaláljuk a szögmérőt, a teodolitot és különböző típusú vonalzókat. Ezek az eszközök évszázadok óta szolgálják a geometriai méréseket.
A klasszikus szögmérő használata homorúszögek esetében különös figyelmet igényel. Mivel ezek az eszközök általában 180 fokig mérnek, a homorúszögeket két lépésben kell meghatározni, vagy speciális technikákat kell alkalmazni.
A teodolitok és más geodéziai műszerek már képesek a teljes 360 fokos tartomány mérésére, így a homorúszögek direkten meghatározhatók velük. Ezek az eszközök különösen fontosak a mérnöki és építészeti alkalmazásokban.
Modern digitális megoldások
A technológia fejlődésével számos digitális eszköz áll rendelkezésünkre a homorúszögek precíz mérésére. A digitális szögmérők, okostelefonos alkalmazások és CAD szoftverek mind képesek kezelni ezeket a szögtípusokat.
A lézer-alapú mérőeszközök különösen pontosak és gyorsak a homorúszögek meghatározásában. Ezek az eszközök gyakran integrálják a mérési adatokat számítógépes rendszerekkel, ami lehetővé teszi az azonnali elemzést és feldolgozást.
Az augmentált valóság (AR) technológiák is kezdenek megjelenni ezen a területen. Ezek az alkalmazások lehetővé teszik a homorúszögek vizuális megjelenítését és interaktív mérését valós környezetben.
"A modern mérőeszközök forradalmasították a homorúszögek kezelését, de az alapvető geometriai elvek ismerete továbbra is elengedhetetlen a helyes alkalmazáshoz."
Hibakeresés és ellenőrzés
Tipikus hibaforrások
A homorúszögekkel végzett számítások során számos hibaforrás merülhet fel. Az egyik leggyakoribb probléma a referenciapont helytelen megválasztása. Amikor egy szöget mérünk, kritikus fontosságú, hogy tisztában legyünk azzal, honnan és merre mérünk.
A koordináta-rendszer értelmezése szintén gyakori hibaforrás. Különböző szakterületeken eltérő konvenciók léteznek a szögek megadására vonatkozóan, és ezek összekeverése jelentős eltéréseket okozhat az eredményekben.
A számológép vagy szoftver beállításai is befolyásolhatják az eredményeket. Fontos ellenőrizni, hogy a használt eszköz fok vagy radián mértékegységben dolgozik-e, és hogy hogyan kezeli a 180 foknál nagyobb szögeket.
Ellenőrzési módszerek
A homorúszögek helyességének ellenőrzésére több módszer is létezik. Az egyik legegyszerűbb a geometriai vizualizáció, ahol rajzban vagy számítógépes modellben ábrázoljuk a szöget és vizuálisan ellenőrizzük az eredményt.
A trigonometriai függvények segítségével is ellenőrizhetjük a számításokat. Ha ismerjük egy homorúszög értékét, kiszámíthatjuk a szinusz, koszinusz és tangens értékeit, majd ezeket összevethetjük a várt eredményekkel.
Keresztellenőrzés során használhatjuk a szög kiegészítő domborúszögét is. Ha helyesen számoltunk, a homorúszög és a hozzá tartozó domborúszög összege pontosan 360 fok kell legyen.
Gyakorlati tippek és trükkök
Gyors becslési módszerek
A mindennapi gyakorlatban gyakran szükség van a homorúszögek gyors becslésére. Az óramutató módszer egy hasznos technika: képzeljük el egy óra számlapját, és használjuk az órák közötti szögeket referenciaként.
Egy óra számlapján minden óra 30 fokot jelent (360°/12 = 30°). Így például a 6 és 9 óra közötti szög 90°, a 6 és 12 óra közötti pedig 180°. A homorúszögek esetében a 12 órától az óramutató járása irányában mérve 6 óra után kezdődnek.
A testhelyzet módszer szintén hasznos lehet. Kinyújtott karokkal állva, ha az egyik kar előre, a másik hátra mutat, az 180°. Ha az egyik kart tovább forgatjuk, homorúszöget kapunk.
Memóriasegédek
A gyakori homorúszög értékek megjegyzésére több mnemotechnikai módszer is létezik. A speciális szögek (210°, 225°, 240°, 300°, 315°, 330°) trigonometriai értékeit érdemes megjegyezni, mivel ezek gyakran előfordulnak számításokban.
Egy hasznos szabály: a homorúszögek szinusz és koszinusz értékei mindig negatívak a 180° és 270° közötti tartományban, míg 270° és 360° között a szinusz negatív, a koszinusz pozitív.
"A homorúszögek elsajátítása nem csak matematikai tudást jelent, hanem fejleszti a térbeli gondolkodást és a problémamegoldó képességeket is."
Kapcsolódó fogalmak és kiterjesztések
Térbeli homorúszögek
A síkgeometriában megismert homorúszög fogalma kiterjeszthető a térgeometriára is. A térszögek esetében még bonyolultabb viszonyokkal találkozunk, ahol a homorúság fogalma több dimenzióban értelmezhető.
A térgeometriában a dihéder szögek lehetnek homorúak, ami azt jelenti, hogy két sík által bezárt szög nagyobb 180 foknál. Ez gyakran előfordul kristályszerkezetekben és molekuláris geometriában.
A gömbi geometriában a homorúszögek viselkedése eltér a síkgeometriától. A gömbfelületen mért szögek tulajdonságai módosulnak, ami új kihívásokat és lehetőségeket teremt a matematikai modellezésben.
Komplex számok és homorúszögek
A komplex számsíkon a homorúszögek érdekes tulajdonságokat mutatnak. Az Euler-formula segítségével a homorúszögek exponenciális formában is kifejezhetők, ami megkönnyíti bizonyos számításokat.
A komplex számok forgási tulajdonságai szorosan kapcsolódnak a homorúszögek fogalmához. Egy komplex szám argumentuma lehet homorúszög is, ami befolyásolja a szám geometriai interpretációját a komplex síkon.
"A homorúszögek és a komplex számok közötti kapcsolat megértése megnyitja az utat a fejlettebb matematikai alkalmazások felé."
Szögfüggvények speciális értékei
Nevezetes homorúszögek
Bizonyos homorúszög értékek olyan gyakran előfordulnak a matematikában és a gyakorlati alkalmazásokban, hogy érdemes külön figyelmet szentelni nekik. Ezek a nevezetes szögek általában 30°, 45° vagy 60° többszörösei.
A 210° (180° + 30°) szög trigonometriai értékei: sin(210°) = -1/2, cos(210°) = -√3/2, tg(210°) = 1/√3. Ezek az értékek a harmadik kvadránsban helyezkednek el, ahol mind a szinusz, mind a koszinusz negatív.
A 315° (360° – 45°) szög különösen érdekes, mert ez a negyedik kvadránsban található: sin(315°) = -√2/2, cos(315°) = √2/2, tg(315°) = -1. Itt a szinusz negatív, de a koszinusz pozitív.
Periodicitás és szimmetriák
A trigonometriai függvények periodikus természete miatt a homorúszögek értékei kapcsolatban állnak kisebb szögek értékeivel. Ez a periodicitás lehetővé teszi, hogy bonyolult számításokat egyszerűsítsünk.
A szimmetria tulajdonságok is fontosak: például sin(360° – α) = -sin(α) és cos(360° – α) = cos(α). Ezek a szabályok segítenek a homorúszögek gyors kiszámításában.
Gyakorlati szempontból ez azt jelenti, hogy ha ismerjük egy domborúszög trigonometriai értékeit, könnyen meghatározhatjuk a megfelelő homorúszög értékeit is, csupán az előjelek megfelelő kezelésével.
Alkalmazások a fizikában és műszaki tudományokban
Mechanika és rezgéstan
A fizikában a homorúszögek különösen fontosak a forgómozgások leírásában. Amikor egy test több mint fél fordulatot tesz meg, a szöghelyzete homorúszögként adható meg, ami elengedhetetlen a pontos mozgásleíráshoz.
A rezgéstanban a fáziseltolódások gyakran homorúszög értékeket vesznek fel. Két rezgés között 240°-os fáziskülönbség azt jelenti, hogy az egyik rezgés jelentősen "lemarad" a másiktól, ami befolyásolja az interferencia mintázatokat.
A centrifugális és centripetális erők számításában is előfordulnak homorúszögek, különösen összetett pályamozgások esetében. A forgó rendszerekben dolgozó mérnököknek pontosan kell kezelniük ezeket a szögeket a biztonságos működés érdekében.
Elektrotechnika és jelprocesszálás
Az elektrotechnikában a váltakozó áramú rendszerekben a fázisszögek gyakran homorúszög értékeket vesznek fel. Egy háromfázisú rendszerben a fázisok között 120°-os eltolás van, ami azt jelenti, hogy a második fázis 240°-os szögben van az elsőhöz képest.
A digitális jelprocesszálásban a Fourier-transzformáció során előforduló fázisszögek szintén lehetnek homorúszögek. Ezek helyes kezelése kritikus a jel rekonstrukciója és a szűrési műveletek szempontjából.
A modulációs technikákban is gyakran találkozunk homorúszögekkel, különösen a fázismoduláció (PM) és a kvadratúra amplitúdó moduláció (QAM) esetében.
"Az elektrotechnikai alkalmazásokban a homorúszögek pontos kezelése gyakran a különbség a működő és a hibás rendszer között."
Számítógépes implementáció
Programozási szempontok
A számítógépes programokban a homorúszögek kezelése speciális figyelmet igényel. A legtöbb programozási nyelv trigonometriai függvényei radiánban dolgoznak, ami átváltást igényel a fokokban megadott homorúszögek esetében.
A lebegőpontos számábrázolás korlátai miatt a homorúszögek számításakor numerikus hibák léphetnek fel. Különösen fontos ez iteratív algoritmusok esetében, ahol a kis hibák felhalmozódhatnak.
Az atan2() függvény használata ajánlott a homorúszögek meghatározásához koordinátákból, mivel ez a függvény képes kezelni az összes kvadránst és visszaadni a helyes homorúszög értéket.
Algoritmusok és optimalizáció
A homorúszögekkel végzett számítások optimalizálása fontos szempont nagy teljesítményű alkalmazásokban. A lookup táblák használata jelentősen felgyorsíthatja a trigonometriai függvények kiértékelését.
A CORDIC algoritmus különösen hasznos beágyazott rendszerekben, ahol nincs dedikált lebegőpontos egység. Ez az algoritmus képes hatékonyan számítani a homorúszögek trigonometriai értékeit.
A párhuzamos feldolgozás lehetőségeit is ki lehet használni, különösen akkor, ha sok homorúszöggel kell dolgozni egyidejűleg, például grafikai renderelés vagy tudományos szimulációk során.
Gyakran ismételt kérdések
Mi a különbség a homorúszög és a domborúszög között?
A homorúszög nagyobb 180 foknál, míg a domborúszög kisebb. Egy teljes fordulatban (360°) minden homorúszöghez tartozik egy kiegészítő domborúszög.
Hogyan számíthatom ki egy homorúszög trigonometriai értékeit?
Használja a redukciós képleteket: keresse meg a megfelelő domborúszöget, számítsa ki annak értékeit, majd alkalmazza a megfelelő előjeleket a kvadráns alapján.
Milyen eszközökkel mérhetem a homorúszögeket?
Digitális szögmérők, teodolitok, vagy okostelefonos alkalmazások használhatók. Hagyományos szögmérővel két lépésben kell mérni.
Mikor találkozom homorúszögekkel a valós életben?
Építészetben, navigációban, műszaki rajzokon, valamint fizikai jelenségek (forgómozgás, rezgések) leírásában gyakran előfordulnak.
Hogyan ellenőrizhetem a homorúszög számításaim helyességét?
Vizuális ellenőrzés, trigonometriai függvények összevetése, vagy a kiegészítő domborúszög használata keresztellenőrzéshez.
Miért negatívak a homorúszögek trigonometriai értékei bizonyos tartományokban?
A trigonometriai függvények előjele a kvadránstól függ. A harmadik kvadránsban (180°-270°) mind a szinusz, mind a koszinusz negatív.
