A valószínűségszámítás világában gyakran találkozunk olyan helyzetekkel, amikor egy véges populációból visszatevés nélkül veszünk mintát. Gondoljunk csak a lottóhúzásra, minőségellenőrzésre egy gyárban, vagy akár egy kártyapakli keverésére – ezekben az esetekben minden egyes húzás megváltoztatja a következő húzás esélyeit. Ez a jelenség vezetett el minket a hipergeometrikus eloszlás felfedezéséhez, amely a statisztika egyik legfontosabb és leggyakrabban alkalmazott eszköze.
Ez az eloszlás különleges helyet foglal el a valószínűségszámításban, mivel olyan valós helyzeteket modellez, amelyekkel mindennap találkozunk. Alapvetően arról van szó, hogy egy véges populációból, amely két különböző típusú elemet tartalmaz, visszatevés nélkül veszünk mintát, és azt vizsgáljuk, hogy hány darab lesz az egyik típusból a mintánkban. A binomiális eloszlástól eltérően itt nem állandóak a valószínűségek, mivel minden húzás után változik a populáció összetétele.
Az alábbiakban részletesen megismerkedhetsz a hipergeometrikus eloszlás matematikai hátterével, gyakorlati alkalmazásaival és számítási módszereivel. Megtanulhatod, hogyan használd ezt az eszközt valós problémák megoldására, milyen hibákat kerülj el a számítások során, és hogyan kapcsolódik ez az eloszlás más statisztikai fogalmakhoz. A gyakorlati példákon keresztül világossá válik, hogy ez nem csupán elméleti matematika, hanem egy rendkívül hasznos eszköz a mindennapi döntéshozatalban.
Mi is pontosan a hipergeometrikus eloszlás?
A hipergeometrikus eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely azt írja le, hogy egy véges populációból visszatevés nélküli mintavételezés során hány "sikeres" elemet kapunk. Képzeljük el, hogy van egy dobozunk, amelyben N darab golyó van, ebből K darab piros, a többi pedig kék. Ha ebből a dobozból n darab golyót húzunk ki egyszerre (vagy egyenként, de visszatevés nélkül), akkor a X valószínűségi változó, amely a kihúzott piros golyók számát jelöli, hipergeometrikus eloszlást követ.
A matematikai definíció szerint X ~ H(N, K, n), ahol N a populáció mérete, K a "sikeres" elemek száma a populációban, n pedig a minta mérete. Ez az eloszlás akkor alkalmazható, amikor a mintavételezés visszatevés nélkül történik, ami megkülönbözteti a binomiális eloszlástól, ahol a valószínűségek állandóak maradnak.
Az eloszlás valószínűségi függvénye a következő képlettel írható le:
P(X = k) = C(K,k) × C(N-K,n-k) / C(N,n)
ahol C(a,b) az "a alatt a b" kombinációs szám, k pedig a sikeres elemek száma a mintában (0 ≤ k ≤ min(n,K)).
A hipergeometrikus eloszlás paraméterei és jellemzői
Alapvető paraméterek megértése
A hipergeometrikus eloszlás három paraméterrel jellemezhető teljes mértékben. Az N paraméter a teljes populáció méretét jelöli, amely véges számú elemet tartalmaz. Ez lehet például egy gyár összes terméke, egy iskola minden diákja, vagy akár egy kártyapakli összes lapja. A végesség itt kulcsfontosságú, mivel ez teszi lehetővé, hogy minden egyes mintavétel megváltoztatja a következő húzás valószínűségeit.
A K paraméter azoknak az elemeknek a számát mutatja meg a populációban, amelyeket "sikeresnek" tekintünk. Ez lehet a hibás termékek száma, a fiú diákok száma, vagy a piros kártyák száma – attól függ, hogy mit vizsgálunk. A definíció szerint 0 ≤ K ≤ N, és ez a paraméter határozza meg alapvetően, hogy milyen arányban vannak jelen a sikeres elemek a populációban.
Az n paraméter a minta méretét jelöli, vagyis azt, hogy hány elemet húzunk ki a populációból. Ez szintén egy fontos megkötés alá esik: 0 ≤ n ≤ N, mivel nyilvánvalóan nem húzhatunk ki több elemet, mint amennyi a populációban van. A minta mérete jelentősen befolyásolja az eloszlás alakját és szórását.
Várható érték és szórás számítása
A hipergeometrikus eloszlás várható értéke meglepően egyszerű képlettel számítható:
E(X) = n × K/N = n × p
ahol p = K/N a sikeres elemek aránya a populációban. Ez az eredmény intuitíven is érthető: ha a populáció p részét teszik ki a sikeres elemek, akkor n darab húzás esetén átlagosan np darab sikeres elemet várhatunk.
A szórás számítása már összetettebb:
Var(X) = n × p × (1-p) × (N-n)/(N-1)
A (N-n)/(N-1) tényező az úgynevezett véges populációs korrekciós faktor, amely figyelembe veszi, hogy visszatevés nélküli mintavételezésről van szó. Ha N nagyon nagy n-hez képest, ez a faktor közel 1-hez, és ekkor a hipergeometrikus eloszlás közelíti a binomiális eloszlást.
Gyakorlati alkalmazások és példák
Minőségellenőrzés a gyártásban
Az egyik leggyakoribb alkalmazási terület a minőségellenőrzés. Tegyük fel, hogy egy gyár 1000 darab terméket gyártott, és tudjuk, hogy ezek közül 50 darab hibás. Ha véletlenszerűen kiválasztunk 20 darab terméket ellenőrzésre, milyen valószínűséggel találunk pontosan 2 hibás terméket?
Ebben az esetben N = 1000, K = 50, n = 20, és k = 2. A valószínűség:
P(X = 2) = C(50,2) × C(950,18) / C(1000,20)
Ez a számítás segít megérteni, hogy mennyire valószínű egy adott minőségi szint elérése a mintavételezés során.
Lottó és szerencsejátékok
A hipergeometrikus eloszlás klasszikus alkalmazása a lottó. Az ötöslottónál 90 számból húznak 5-öt. Ha mi is 5 számot tippelünk, akkor a találatok száma hipergeometrikus eloszlást követ: N = 90, K = 5 (a mi számaink), n = 5 (a húzott számok).
🎯 Lottószámítás részletesen:
- Teljes számkör: 90 szám
- Tippelt számok: 5 darab
- Húzott számok: 5 darab
- Keressük: pontosan k találat valószínűsége
Kártya- és társasjátékok
Egy 52 lapos francia kártyából 13 lap piros (kőr és káró). Ha 5 lapot húzunk, mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 2 piros lapot kapunk? Itt N = 52, K = 13, n = 5, k = 2.
Számítási módszerek lépésről lépre
Alapvető valószínűségszámítás
A hipergeometrikus valószínűségek kiszámításának első lépése mindig a paraméterek helyes azonosítása. Kritikus fontosságú, hogy pontosan meghatározzuk, mi számít sikernek, mi a teljes populáció, és mekkora a minta. Gyakori hiba, hogy összekeverjük ezeket a paramétereket.
Lépésről lépésre a számítás:
- Paraméterek azonosítása: Határozzuk meg N, K, n és k értékeit
- Kombinációk kiszámítása: Számítsuk ki C(K,k), C(N-K,n-k) és C(N,n) értékeit
- Valószínűség meghatározása: Alkalmazzuk a P(X = k) = C(K,k) × C(N-K,n-k) / C(N,n) képletet
- Ellenőrzés: Győződjünk meg róla, hogy az eredmény 0 és 1 között van
Vegyünk egy konkrét példát: egy 20 fős osztályban 8 fiú van. Ha véletlenszerűen kiválasztunk 5 diákot, mi a valószínűsége, hogy pontosan 3 fiú lesz közöttük?
N = 20, K = 8, n = 5, k = 3
C(8,3) = 8!/(3!×5!) = 56
C(12,2) = 12!/(2!×10!) = 66
C(20,5) = 20!/(5!×15!) = 15504
P(X = 3) = (56 × 66) / 15504 = 3696 / 15504 ≈ 0,238
Kumulatív valószínűségek számítása
Gyakran nem csak egy konkrét értékre, hanem egy tartományra vagyunk kíváncsiak. Például: "legfeljebb 2 hibás termék" vagy "legalább 3 találat". Ezekben az esetekben kumulatív valószínűségeket kell számítanunk.
P(X ≤ k) = Σ P(X = i) (i = 0-tól k-ig)
P(X ≥ k) = 1 – P(X ≤ k-1)
A kumulatív valószínűségek számítása gyakran időigényes, ezért érdemes táblázatokat vagy számítógépes programokat használni nagyobb problémák esetén.
A hipergeometrikus és binomiális eloszlás kapcsolata
Mikor használjuk melyiket?
A két eloszlás közötti választás kulcskérdése a visszatevés. Ha visszatevés nélküli mintavételezésről van szó, és a populáció véges, akkor hipergeometrikus eloszlást használunk. Ha visszatevéses a mintavételezés, vagy a populáció olyan nagy, hogy a mintavételezés nem befolyásolja jelentősen az arányokat, akkor binomiális eloszlást alkalmazunk.
Gyakorlati szabály: Ha n/N < 0,05 (a minta kevesebb mint 5%-a a populációnak), akkor a hipergeometrikus eloszlás jól közelíthető binomiális eloszlással, ahol p = K/N.
Határérték-tételek
Amikor N → ∞, miközben K/N → p (konstans), a hipergeometrikus eloszlás a binomiális eloszláshoz konvergál. Ez matematikailag is igazolható, és gyakorlati szempontból is fontos, mivel lehetővé teszi egyszerűbb számításokat nagy populációk esetén.
Ez a konvergencia tulajdonság teszi lehetővé, hogy sok valós helyzetben használhassuk a binomiális eloszlást a hipergeometrikus helyett, jelentős számítási egyszerűsítést eredményezve.
Gyakori hibák és buktatók
Paraméterek helytelen azonosítása
Az egyik leggyakoribb hiba a paraméterek összekeverése. Különösen problémás lehet annak eldöntése, hogy mi számít "sikernek" a feladatban. Példa: Ha azt kérdezzük, hogy "hány nem hibás terméket" találunk, akkor könnyen összekeverhető, hogy K a hibás vagy a hibátlan termékek számát jelöli.
Ellenőrző kérdések:
- Mi a teljes populáció? (N)
- Mit keresünk? (ez határozza meg, mi a "siker")
- Hány "sikeres" elem van a populációban? (K)
- Mekkora a minta? (n)
Számítási hibák kombinációknál
A kombinációs számok kiszámítása során gyakran előfordulnak hibák, különösen nagy számok esetén. Fontos megjegyezni, hogy C(n,k) = C(n,n-k), ami segíthet a számítások egyszerűsítésében.
🔢 Hasznos tulajdonságok:
- C(n,0) = C(n,n) = 1
- C(n,1) = C(n,n-1) = n
- C(n,k) = 0, ha k > n vagy k < 0
- C(n,k) = C(n,n-k)
Feltételes valószínűségekkel való összekeverés
Gyakori hiba, hogy összekeverjük a hipergeometrikus eloszlást feltételes valószínűségekkel. A hipergeometrikus eloszlás egy egyszeri mintavételezési folyamatot ír le, míg a feltételes valószínűségek több lépcsős folyamatokat modelleznek.
Speciális esetek és kiterjesztések
Többváltozós hipergeometrikus eloszlás
Amikor a populációban kettőnél több típusú elem van, a többváltozós hipergeometrikus eloszlást használjuk. Például egy dobozban piros, kék és zöld golyók vannak, és azt vizsgáljuk, hogy mindegyik színből hányat húzunk ki.
Ha N₁, N₂, …, Nₖ az egyes típusok száma (ahol N₁ + N₂ + … + Nₖ = N), és n darab elemet húzunk, akkor a valószínűségi függvény:
P(X₁ = x₁, X₂ = x₂, …, Xₖ = xₖ) = [C(N₁,x₁) × C(N₂,x₂) × … × C(Nₖ,xₖ)] / C(N,n)
Negatív hipergeometrikus eloszlás
Ez az eloszlás azt modellezi, hogy hány húzás szükséges ahhoz, hogy pontosan r darab sikeres elemet kapjunk. Ez különösen hasznos minőségellenőrzési folyamatokban, ahol addig tesztelünk termékeket, amíg egy meghatározott számú hibás terméket nem találunk.
Táblázatok és számítási segédeszközök
Valószínűségi táblázat példa
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,263 | 0,263 |
| 1 | 0,439 | 0,702 |
| 2 | 0,244 | 0,946 |
| 3 | 0,051 | 0,997 |
| 4 | 0,003 | 1,000 |
Ez a táblázat N=20, K=8, n=5 paraméterekhez tartozik.
Paraméter-összehasonlító táblázat
| Eloszlás típusa | Mintavételezés | Populáció | Valószínűség |
|---|---|---|---|
| Hipergeometrikus | Visszatevés nélkül | Véges | Változó |
| Binomiális | Visszatevéssel | Végtelen/Nagy | Állandó |
| Poisson | Ritka események | Nagy | Kis λ |
Számítógépes implementáció
Excel és táblázatkezelők
A legtöbb modern táblázatkezelő program tartalmaz beépített függvényeket a hipergeometrikus eloszlás számításához. Az Excel-ben a HYPGEOMDIST vagy HYPGEOM.DIST függvények használhatók.
Szintaxis: =HYPGEOM.DIST(k; n; K; N; FALSE)
- k: sikeres elemek száma a mintában
- n: minta mérete
- K: sikeres elemek száma a populációban
- N: populáció mérete
- FALSE: pontosan k érték valószínűsége
Programozási nyelvek
Python esetén a scipy.stats modul hypergeom osztálya használható:
from scipy.stats import hypergeom
prob = hypergeom.pmf(k, N, K, n)
Ez a megközelítés különösen hasznos összetett számítások és szimulációk esetén.
Valós alkalmazási területek
Orvosi diagnosztika
Az orvosi tesztekben gyakran alkalmazzák a hipergeometrikus eloszlást. Ha egy populációban ismert a betegek aránya, és véletlenszerű mintát veszünk tesztelésre, akkor a pozitív esetek száma hipergeometrikus eloszlást követ.
🏥 Egészségügyi alkalmazások:
- Járványügyi mintavételezés
- Klinikai vizsgálatok tervezése
- Szűrővizsgálatok hatékonyságának elemzése
- Gyógyszer mellékhatások vizsgálata
- Genetikai vizsgálatok eredményeinek értékelése
Ökológiai kutatások
Az ökológiában a "mark-recapture" módszernél használják a hipergeometrikus eloszlást állatok populációjának becslésére. Először megjelölnek bizonyos számú állatot, majd később újra fognak néhányat, és megnézik, hány megjelölt egyedet találnak.
Pénzügyi kockázatelemzés
A portfóliókezelésben és kockázatelemzésben szintén alkalmazzák ezt az eloszlást. Ha egy portfólióban bizonyos számú kockázatos befektetés van, és véletlenszerűen kiválasztunk néhányat részletes elemzésre, akkor a kockázatos befektetések száma a mintában hipergeometrikus eloszlást követ.
Statisztikai következtetések
Hipotézisvizsgálat
A hipergeometrikus eloszlás alapján hipotézisvizsgálatokat is végezhetünk. Például tesztelhetjük, hogy egy populációban a sikeres elemek aránya megegyezik-e egy előre megadott értékkel.
Nullhipotézis: H₀: p = p₀ (a sikeres elemek aránya p₀)
Alternatív hipotézis: H₁: p ≠ p₀
A teszt statisztika a mintában talált sikeres elemek száma, amelynek eloszlását a hipergeometrikus eloszlás írja le H₀ mellett.
Konfidencia intervallumok
Bár a hipergeometrikus eloszlás diszkrét, mégis konstruálhatunk konfidencia intervallumokat a sikeres elemek arányára. Ez különösen hasznos lehet minőségellenőrzési alkalmazásokban, ahol meg akarjuk becsülni a hibás termékek valós arányát.
"A hipergeometrikus eloszlás nem csupán elméleti konstrukció, hanem gyakorlati eszköz, amely segít megérteni a véges populációkból való mintavételezés következményeit."
Bayesi megközelítés
A Bayesi statisztikában a hipergeometrikus eloszlás likelihood függvényként szolgálhat, amikor a populáció összetételére vonatkozó prior információnk van. Ez lehetővé teszi a paraméterek becslésének finomítását új adatok beérkezésekor.
Kapcsolat más eloszlásokkal
Approximációk és határértékek
Nagy N értékek esetén, amikor n/N kicsi, a hipergeometrikus eloszlás közelíthető binomiális eloszlással B(n, K/N) paraméterekkel. Ha ráadásul n is nagy, és K/N kicsi, akkor Poisson-approximáció is használható λ = n×K/N paraméterrel.
Approximációs feltételek:
- Binomiális: n/N < 0,05 és n > 20
- Poisson: n > 50, K/N < 0,1, és n×K/N < 5
- Normális: n×K/N > 5 és n×(1-K/N) > 5
Beta-binomiális kapcsolat
Érdekes matematikai kapcsolat áll fenn a hipergeometrikus és a beta-binomiális eloszlás között. Ha a binomiális eloszlás paraméterét béta eloszlás szerint választjuk véletlenszerűen, akkor bizonyos feltételek mellett hipergeometrikus eloszláshoz hasonló viselkedést kapunk.
"A különböző valószínűségi eloszlások közötti kapcsolatok megértése kulcsfontosságú a helyes modellválasztáshoz és a statisztikai következtetések érvényességéhez."
Szimulációs módszerek
Monte Carlo szimulációk
Összetett hipergeometrikus problémák esetén gyakran hasznos szimulációs módszereket alkalmazni. A Monte Carlo módszer segítségével közelítő megoldásokat kaphatunk olyan esetekre, amikor az analitikus számítás túl bonyolult lenne.
Szimuláció lépései:
- Generáljunk egy N elemű populációt, amelyben K elem "sikeres"
- Válasszunk ki véletlenszerűen n elemet visszatevés nélkül
- Számoljuk meg a sikeres elemeket
- Ismételjük meg ezt a folyamatot sok ezerszer
- Számítsuk ki a relatív gyakoriságokat
Bootstrapping technikák
A bootstrap módszerek is alkalmazhatók hipergeometrikus eloszlású adatok elemzésére, különösen akkor, amikor a populáció paramétereit akarjuk becsülni. Ez a megközelítés különösen hasznos lehet kis minták esetén, amikor a hagyományos aszimptotikus módszerek nem megbízhatóak.
Gyakorlati tanácsok és tippek
Modellválasztási kritériumok
A hipergeometrikus eloszlás használatának eldöntésekor számos faktort kell figyelembe venni. Az első és legfontosabb kérdés: véges-e a populáció, és visszatevés nélküli-e a mintavételezés? Ha igen, akkor a hipergeometrikus modell a megfelelő választás.
Döntési fa a modellválasztáshoz:
- Véges populáció + visszatevés nélküli mintavételezés → Hipergeometrikus
- Végtelen populáció vagy visszatevéses mintavételezés → Binomiális
- Ritka események nagy populációban → Poisson
- Folytonos változó → Normális vagy más folytonos eloszlás
Számítási hatékonyság
Nagy paraméterek esetén a kombinációs számok kiszámítása numerikus problémákat okozhat. Ilyenkor érdemes logaritmikus formában dolgozni, vagy approximációkat használni. A Stirling-formula segíthet a faktoriálisok közelítésében nagy számok esetén.
"A gyakorlati alkalmazásokban gyakran fontosabb a gyors és megbízható közelítés, mint a tökéletes pontosság."
Validáció és ellenőrzés
Minden hipergeometrikus számítás után érdemes ellenőrizni az eredmény ésszerűségét. A valószínűségeknek 0 és 1 között kell lenniük, és az összes lehetséges kimenetel valószínűségeinek összege 1-nek kell lennie.
Ellenőrző lista:
✅ Paraméterek helyesen azonosítva
✅ Kombinációs számok helyesen kiszámítva
✅ Eredmény 0 és 1 között van
✅ Intuitív értelemben ésszerű az eredmény
✅ Szükség esetén approximáció alkalmazva
Fejlett alkalmazások
Többlépcsős mintavételezés
Komplex mintavételezési tervek esetén, ahol több lépcsőben veszünk mintát, a hipergeometrikus eloszlás kiterjesztései használhatók. Például először régiók szerint mintázunk, majd az egyes régiókból egyedeket.
Stratifikált mintavételezés
Ha a populáció több, jól elkülöníthető rétegre (strátumra) osztható, akkor rétegenkénti hipergeometrikus eloszlásokat alkalmazhatunk. Ez pontosabb becsléseket tesz lehetővé, mint az egyszerű véletlen mintavételezés.
🎲 Stratifikált mintavételezés előnyei:
- Nagyobb pontosság
- Kisebb szórás
- Reprezentatívabb minta
- Rétegenkénti elemzés lehetősége
- Költséghatékonyabb adatgyűjtés
"A stratifikált mintavételezés és a hipergeometrikus eloszlás kombinációja különösen hatékony eszköz a komplex populációk vizsgálatára."
Szekvenciális mintavételezés
Bizonyos helyzetekben nem előre rögzített méretű mintát veszünk, hanem addig folytatjuk a mintavételezést, amíg bizonyos feltétel nem teljesül. Ilyenkor módosított hipergeometrikus eloszlásokat használunk.
Számítógépes eszközök és szoftverek
Statisztikai szoftverek
Az R programozási nyelvben számos csomag támogatja a hipergeometrikus eloszlást. A dhyper(), phyper(), qhyper() és rhyper() függvények biztosítják a teljes funkcionalitást.
# Valószínűségi függvény
dhyper(x, m, n, k)
# Kumulatív eloszlásfüggvény
phyper(q, m, n, k)
# Kvantilis függvény
qhyper(p, m, n, k)
# Véletlen számgenerálás
rhyper(nn, m, n, k)
Online kalkulátorok
Számos online eszköz áll rendelkezésre a hipergeometrikus valószínűségek gyors kiszámításához. Ezek különösen hasznosak oktatási célokra vagy gyors ellenőrzésekre.
"A modern számítógépes eszközök használata nem helyettesíti az elméleti megértést, hanem kiegészíti és támogatja azt."
Mobil alkalmazások
Okostelefonokra is elérhetők statisztikai kalkulátor alkalmazások, amelyek támogatják a hipergeometrikus eloszlást. Ezek hasznosak lehetnek terepi munkák során vagy gyors számítások esetén.
Oktatási szempontok
Tanítási módszerek
A hipergeometrikus eloszlás tanításakor fontos a fokozatosság. Kezdjük egyszerű, kézzel fogható példákkal (kártyahúzás, golyóhúzás), majd haladjunk a bonyolultabb alkalmazások felé.
Javasolt tanítási sorrend:
- Intuitive megértés egyszerű példákkal
- Matematikai definíció bevezetése
- Paraméterek jelentésének tisztázása
- Számítási módszerek elsajátítása
- Valós alkalmazások megismerése
- Kapcsolat más eloszlásokkal
Gyakori tanulói hibák
A tapasztalat azt mutatja, hogy a hallgatók leggyakrabban a paraméterek azonosításánál hibáznak. Különösen problémás a "siker" fogalmának helyes értelmezése és a populáció méretének pontos meghatározása.
Tipikus félreértések:
- A binomiális és hipergeometrikus eloszlás összekeverése
- Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavételezés különbségének félreértése
- Kombinációs számok helytelen kiszámítása
- Paraméterek felcserélése a képletekben
"A hibák megértése és elemzése gyakran többet tanít, mint a helyes megoldások mechanikus ismétlése."
Gyakran ismételt kérdések
Mit jelent pontosan a "visszatevés nélküli mintavételezés"?
A visszatevés nélküli mintavételezés azt jelenti, hogy amikor kiveszünk egy elemet a populációból, azt nem tesszük vissza. Ez azt eredményezi, hogy minden egyes húzás után csökken a populáció mérete, és változnak a valószínűségek. Ez különbözteti meg a binomiális eloszlástól, ahol minden húzáskor ugyanazok a valószínűségek.
Mikor használjam a hipergeometrikus eloszlást a binomiális helyett?
A hipergeometrikus eloszlást akkor használd, ha a populáció véges és visszatevés nélkül mintázol. Gyakorlati szabály: ha a minta mérete kevesebb mint 5%-a a populációnak (n/N < 0,05), akkor a binomiális eloszlás jó közelítés. Ellenkező esetben a hipergeometrikus eloszlás pontosabb.
Hogyan számítom ki a kombinációs számokat nagy értékek esetén?
Nagy számok esetén használj számítógépes eszközöket vagy logaritmikus formát. A legtöbb programozási nyelv és táblázatkezelő tartalmaz beépített függvényeket. Kézzel számolva használhatod a Stirling-formulát faktoriálisok közelítésére, vagy egyszerűsítheted a törtet közös tényezők kiemelésével.
Mi a kapcsolat a hipergeometrikus és a negatív hipergeometrikus eloszlás között?
A hipergeometrikus eloszlás rögzített minta méret mellett vizsgálja a sikeres elemek számát. A negatív hipergeometrikus eloszlás fordítva: rögzített számú sikeres elem mellett vizsgálja a szükséges húzások számát. Mindkettő visszatevés nélküli mintavételezést feltételez.
Lehet-e a hipergeometrikus eloszlás szimmetrikus?
Igen, szimmetrikus lehet, ha K = N/2 (a sikeres elemek pontosan a populáció felét teszik ki) és n = N/2 (a minta mérete is a populáció fele). Általában azonban nem szimmetrikus, és alakja függ a paraméterek viszonyától.
Hogyan ellenőrizzem, hogy helyesen alkalmaztam-e a hipergeometrikus eloszlást?
Ellenőrizd, hogy: 1) véges populációval dolgozol-e, 2) visszatevés nélküli a mintavételezés, 3) két típusú elem van a populációban, 4) a paraméterek teljesítik a 0 ≤ k ≤ min(n,K) feltételt, 5) az összes valószínűség összege 1. Ha mindez teljesül, helyesen alkalmaztad.
