Talán emlékszel még azokra a pillanatokra az iskolapadból, amikor a geometria órán a körzők hegye karcolta a papírt, és a formák lassan életre keltek a szemed előtt. Sokunk számára a matematika ezen része nem csupán száraz képletek halmaza volt, hanem egyfajta vizuális művészet, ahol a logikai rend és a térbeli harmónia találkozott. Ugyanakkor teljesen természetes, ha néha úgy érzed, a bonyolultabb alakzatok – mint amilyen a körszelet is – kifognak rajtad, vagy egyszerűen csak feledésbe merültek a pontos módszerek. Ezzel nem vagy egyedül; a kör részei közötti különbségek és a hozzájuk tartozó számítások gyakran okoznak fejtörést még a gyakorlottabbaknak is.
Ebben az írásban egy olyan geometriai alakzatot járunk körül, amely a mindennapi életben gyakrabban fordul elő, mint gondolnánk, mégis ritkán beszélünk róla részletesen. A körszelet tulajdonképpen a kör egy sajátos "lecsípett" darabja, amelyet egy húr választ le a teljes síkidomból. Megnézzük, mi a különbség közte és a körcikk között, hogyan viszonyulnak egymáshoz, és miért elengedhetetlen a megértése számos mérnöki és tervezési feladatnál. Nem csupán a képleteket dobjuk fel a virtuális táblára, hanem megvizsgáljuk a mögöttük rejlő logikát is, hogy a megértés valódi legyen, ne csak gépies.
Célom, hogy mire az utolsó sorhoz érsz, ne csupán egy matematikai eszköztárral legyél gazdagabb, hanem lásd a szépséget és a hasznosságot is ebben a geometriai formában. Legyen szó egy kerti boltív megtervezéséről, egy tartályban lévő folyadék mennyiségének kiszámításáról, vagy egyszerűen csak a tudásvágy kielégítéséről, itt minden szükséges információt megtalsz, érthetően és emberközelien tálalva. Tarts velem ebben a geometriai utazásban, ahol a szögek, sugarak és ívek világát tesszük átláthatóvá és barátságossá.
A geometriai alapok tisztázása
Mielőtt fejest ugranánk a mélyvízbe, és a képletekkel zsonglőrködnénk, érdemes stabil alapokat teremteni. A geometria, mint a matematika egyik legősibb ága, a definíciók pontosságára épül. Amikor ránézünk egy körre, a tökéletes szimmetriát látjuk. De mi történik, ha ezt a tökéletességet megbontjuk?
A körszeletet úgy képzelheted el legkönnyebben, mint amikor egy pizzáról nem a szokásos háromszög alakú szeletet vágod ki, hanem egy egyenes vágással leválasztod a szélét (a "héját"). Ez a levágott rész a körszelet. Hivatalosabban fogalmazva: a körszelet a körlapnak az a része, amelyet a kör egy húrja és a hozzá tartozó körív határol. Itt rögtön két fontos fogalommal találkozunk: a húrral, ami a körvonal két pontját összekötő egyenes szakasz, és az ívvel, ami a körvonalnak e két pont közötti görbe szakasza.
A leggyakoribb tévesztés a körcikk és a körszelet összekeverése. Jegyezd meg jól: a körcikk a tortaszelet (középpontból indul), míg a körszelet a levágott karéj (a húr vágja le).
A megértéshez elengedhetetlen, hogy tisztában legyünk a kör részeivel. A kör középpontja ($O$) az origó, ahonnan minden sugár ($r$) kiindul. Ha behúzunk két sugarat, azok egy szöget zárnak be egymással – ezt hívjuk középponti szögnek ($\alpha$). Ez a szög határozza meg, hogy mekkora "falatot" hasítunk ki a körből. A körszelet területe szorosan összefügg ezzel a középponti szöggel, de – és itt jön a csavar – nem egyezik meg a sugarak által határolt területtel.
A körszeletet valójában származtatott alakzatként érdemes kezelni. Nem önmagában áll, hanem a körcikk és egy háromszög kapcsolatából születik meg. Ez a felismerés lesz a kulcsa annak, hogy a körszelet területének kiszámítása logikus lépéssorrá váljon, ne pedig egy bemagolandó, értelmezhetetlen formulává.
A számításhoz szükséges változók és mértékegységek
Ahhoz, hogy pontos eredményt kapjunk, ismernünk kell a bemeneti adatokat. A matematika nyelve precíz, és ebben az esetben három fő változó körül forog a világunk.
Az első és legfontosabb a sugár ($r$). Ez a kör méretét határozza meg. Sugár nélkül nem tudjuk, hogy egy gombfoci gombjáról vagy egy óriáskerékről beszélünk-e. A terület a sugár négyzetével lesz arányos, ami azt jelenti, hogy ha a sugarat duplájára növeled, a terület a négyszeresére nő. Ez egy olyan felskálázási törvény, ami minden terület-számításnál érvényes, de itt is érdemes észben tartani.
A második változó a középponti szög ($\alpha$). Ez mondja meg, milyen "széles" a szeletünk. Itt érkezünk el egy kritikus ponthoz, ahol sokan elcsúsznak: a mértékegységekhez. A szögeket mérhetjük fokokban (a kör 360 fok) vagy radiánban (a kör $2\pi$ radián). Bár a mindennapi életben a fokokhoz vagyunk szokva, a magasabb szintű matematika és a legtöbb elegáns képlet a radiánt preferálja. 📐
- Fok ($^\circ$): Babiloni örökség, könnyen elképzelhető. Egy derékszög 90 fok.
- Radián (rad): A "természetes" szögmérték. 1 radián az a szög, amelyhez tartozó körív hossza megegyezik a sugárral.
A harmadik, gyakran használt változó a húr hossza ($h$). Bizonyos gyakorlati esetekben – például amikor egy meglévő építészeti elemet mérsz fel – nem tudod megmérni a középponti szöget, de le tudod mérni a húr hosszát és a körív "magasságát". Ebből a két adatból vissza lehet számolni a sugarat és a szöget is, de ez már egy kis matematikai bűvészkedést igényel.
Miért jobb a radián?
Amikor képletekkel dolgozunk, a radián használata egyszerűsíti az egyenleteket. Míg fokokban számolva állandóan osztanunk kell 360-nal és szoroznunk $\pi$-vel, addig radiánban ezek a konstansok gyakran kiesnek vagy egyszerűsödnek. Azonban, mivel tudom, hogy az olvasók többsége fokokban gondolkodik, a cikk során mindkét megközelítést bemutatom, hogy kiválaszthasd a számodra kényelmesebbet.
A képlet levezetése: a logikus megközelítés
Most pedig nézzük meg, hogyan épül fel a körszelet területének kiszámítása a gyakorlatban. Nem kell megijedni, nem fogunk bonyolult differenciálegyenleteket oldani, csupán a józan paraszti észt és elemi geometriát használunk.
A stratégiánk a következő: a "kivonásos módszer".
Képzeld el, hogy van egy teljes körcikked (a tortaszelet). Ez a körcikk tartalmazza a körszeletet (a karéjt) és egy egyenlő szárú háromszöget (a torta belső, puha részét). Ha ki tudjuk számolni a teljes körcikk területét, és ebből kivonjuk a belső háromszög területét, akkor ami megmarad, az pontosan a keresett körszelet területe lesz.
A lépések tehát:
- Kiszámoljuk a teljes körcikk területét.
- Kiszámoljuk a húr és a sugarak által határolt háromszög területét.
- A körcikk területéből kivonjuk a háromszög területét.
A körcikk területe
A teljes kör területe $r^2 \cdot \pi$. A körcikk ennek csak egy töredéke. Hogy mekkora töredéke, azt a középponti szög aránya határozza meg a teljes körhöz (360 fokhoz) képest.
Ha a szög $\alpha$ (fokban):
$$T_{\text{körcikk}} = \frac{\alpha}{360} \cdot r^2 \cdot \pi$$
Ha a szög $\alpha$ (radiánban):
$$T_{\text{körcikk}} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \alpha$$
A háromszög területe
A háromszögünk egyenlő szárú, hiszen két oldala a kör sugara ($r$). A két szár által bezárt szög éppen $\alpha$. A trigonometria segítségével egy ilyen háromszög területe könnyen meghatározható az általános szinusztétellel a területre vonatkozóan:
$$T_{\text{háromszög}} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin(\alpha)$$
Figyelj! Ha a számológépedet használod a $\sin(\alpha)$ kiszámításához, mindig ellenőrizd, hogy a gép DEG (fok) vagy RAD (radián) módban van-e, attól függően, milyen mértékegységet használsz!
A végső képlet összeállítása
Most illesszük össze a két részt.
Fokban megadott szög esetén:
$$T_{\text{körszelet}} = \left( \frac{\alpha}{360} \cdot r^2 \cdot \pi \right) – \left( \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin(\alpha) \right)$$
Kiemelhetjük az $\frac{1}{2} r^2$-et, bár fokoknál ez kevésbé szép:
$$T_{\text{körszelet}} = r^2 \cdot \left( \frac{\pi \cdot \alpha}{360} – \frac{\sin(\alpha)}{2} \right)$$
Radiánban megadott szög esetén (az elegáns megoldás):
$$T_{\text{körszelet}} = \left( \frac{1}{2} r^2 \alpha \right) – \left( \frac{1}{2} r^2 \sin(\alpha) \right)$$
Kiemelés után megkapjuk a matematikában leggyakrabban idézett formulát:
$$T_{\text{körszelet}} = \frac{1}{2} r^2 (\alpha – \sin(\alpha))$$
Ez a képlet a szépsége és egyszerűsége miatt a mérnökök kedvence. Nincs benne osztás 360-nal, nincs benne explicit $\pi$ (bár a radián miatt implicit módon ott van). Csak a sugár és a szög kell hozzá.
Táblázat a képletek gyors áttekintéséhez
Hogy átláthatóbb legyen a dolog, készítettem egy összefoglaló táblázatot, amely segít kiválasztani a megfelelő módszert a rendelkezésre álló adatok alapján.
| Bemeneti adatok | Szükséges mértékegység | Alkalmazandó képlet | Megjegyzés |
|---|---|---|---|
| Sugár ($r$) és Szög ($\alpha$) | Radián | $T = \frac{1}{2} r^2 (\alpha – \sin \alpha)$ | Ez a legegyszerűbb és leggyorsabb módszer. |
| Sugár ($r$) és Szög ($\alpha$) | Fok | $T = \frac{r^2}{2} \left( \frac{\pi \alpha}{180} – \sin \alpha \right)$ | Át kell váltani a fokot a képleten belül. |
| Sugár ($r$) és Húr ($h$) | Hosszúság | Két lépéses: először szöget számolunk $\alpha = 2 \arcsin(\frac{h}{2r})$, majd a fenti képlet. | Szükséges hozzá a trigonometriai inverz függvény (arcsin). |
| Sugár ($r$) és Ívhossz ($i$) | Hosszúság | $\alpha = \frac{i}{r}$ (radiánban kapjuk), majd az első képlet. | Az ívhossz és a sugár aránya közvetlenül a radiánt adja. |
Gyakorlati példák és alkalmazási területek
Az elmélet szép, de a gyakorlat teszi a mestert. Nézzünk meg néhány valós szituációt, ahol a körszelet területének kiszámítása nem csak úri huncutság, hanem szükséglet.
1. példa: a kerti ablak tervezése
Tegyük fel, hogy egy asztalos vagy, és egy boltíves ablakot kell beüvegezned. Az ablak alja egyenes (ez a húr), a teteje íves. Tudod, hogy a boltív szélessége (húr) 120 cm, és a boltív magassága a közepén 20 cm. Mennyi üvegre lesz szükséged?
Itt nem ismerjük a sugarat és a szöget, csak a geometriai méreteket. Ez egy klasszikus probléma.
A sugár ($r$) kiszámítható a húr ($h$) és a magasság ($m$) segítségével a Pitagorasz-tétel alkalmazásával:
$r = \frac{h^2}{8m} + \frac{m}{2}$
Behelyettesítve: $r = \frac{120^2}{8 \cdot 20} + \frac{20}{2} = \frac{14400}{160} + 10 = 90 + 10 = 100$ cm.
Tehát a sugár 100 cm.
Most már kiszámolhatjuk a szöget. Használjunk trigonometriát:
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r-m}{r} = \frac{100-20}{100} = 0,8$.
Ebből $\frac{\alpha}{2} \approx 36,87^\circ$, tehát $\alpha \approx 73,74^\circ$.
Innen már a fenti képlettel (fokos verzió) megkapjuk a területet.
Vízszintes hengeres tartályok szintmérése 🌊
Ez talán a legfontosabb ipari alkalmazás. Képzelj el egy földbe süllyesztett olajtartályt vagy egy borászatban fekvő acéltartályt. Ezek hengerek. Ha beléjük nézel oldalról, egy kört látsz. A folyadék szintje egy vízszintes vonal, ami egy húrnak felel meg.
A folyadék mennyisége (térfogata) a tartály hossza szorozva a folyadék által kitöltött körszelet területével.
Itt a mérés általában egy mérőpálcával történik, ami a folyadék magasságát ($m$) mutatja. Ebből kell visszaszámolni a területet.
Ha a tartály félig van, akkor a terület a kör fele. De ha csak az alján lötyög valami, akkor egy kis körszeletet számolunk. Ha pedig majdnem tele van, akkor a "nagy" körszeletet (ami nagyobb, mint a félkör) kell kiszámolni. Ilyenkor érdemesebb a teljes körből kivonni az üresen maradt körszeletet.
Haladóknak: mi van, ha a körszelet nagyobb, mint a félkör?
Eddig hallgatólagosan feltételeztük, hogy a körszeletünk kisebb, mint a félkör (tehát a középponti szög kisebb, mint 180 fok). De mi a helyzet a Pac-Man formával? Vagyis amikor a "körszelet" valójában a kör nagy része, és csak egy kicsi hiányzik belőle?
A matematika szépsége, hogy a fent bemutatott képletek – különösen a radiános verzió – univerzálisak.
Ha $\alpha$ nagyobb, mint $\pi$ (180 fok), a szinusz függvény negatívvá válhat (180 és 360 fok között).
Nézzük a képletet: $T = \frac{1}{2} r^2 (\alpha – \sin(\alpha))$.
Ha $\alpha = 270^\circ$ (vagyis $\frac{3\pi}{2}$), akkor $\sin(270^\circ) = -1$.
A kivonás jel és a negatív szinusz miatt a két tag összeadódik: $\alpha – (-1) = \alpha + 1$. Ez logikus, hiszen a területnek nőnie kell. Tehát a képlet automatikusan kezeli a félkörnél nagyobb szeleteket is, feltéve, hogy a szöget helyesen (a reflex szöget használva) adjuk meg.
Mindig ellenőrizd, hogy a "kisebbik" vagy a "nagyobbik" körszeletre vagy kíváncsi! A feladatok szövegezése néha trükkös lehet. Ha a húr által levágott kisebbik részt kérik, a szög 0-180 fok közé esik. Ha a nagyobbat, akkor 180-360 fok közé.
Történelmi kitekintés és érdekességek
A körszelet területének meghatározása nem újkeletű probléma. Már az ókori egyiptomiak és babiloniak is foglalkoztak vele, bár ők még közelítő módszereket használtak. Nem volt pontos értékük a $\pi$-re, így tapasztalati képletekre hagyatkoztak.
Később, a görög matematikusok, különösen Arkhimédész, forradalmasították a gondolkodást. Arkhimédész a "kimerítés módszerével" (ami az integrálszámítás előfutára volt) rendkívül pontosan tudta közelíteni a görbe vonalakkal határolt idomok területét.
Egy érdekes geometriai alakzat, ami két körszeletből áll, a Vesica Piscis (hólyag). Ezt úgy kapjuk meg, hogy két azonos sugarú kört rajzolunk úgy, hogy mindegyik középpontja a másik kerületén van. A közös metszetük két, egymásnak háttal fordított körszelet. Ennek az alakzatnak szakrális geometriai és művészettörténeti jelentősége is van, a gótikus építészetben rengeteg helyen visszaköszön. Számolása egyszerű: mivel két szimmetrikus körszelet, elég egyet kiszámolni és megszorozni kettővel.
A pontosság kérdése: mennyi tizedesjegy kell?
Amikor a körszelet területének kiszámítása a feladat, gyakran felmerül a kérdés: mennyire legyünk pontosak?
Az iskolai feladatokban általában két tizedesjegyre kerekítünk. De a mérnöki gyakorlatban ez kevés lehet.
Gondolj bele: ha egy hatalmas olajtartályról van szó, ahol a sugár 5 méter, egy apró kerekítési hiba a szögben vagy a $\pi$ értékében literes, sőt hektoliteres eltérést okozhat a végeredményben.
Ezért, ha számítógéppel dolgozol, mindig használd a gép által tárolt $\pi$ értéket (ami általában 15 tizedesjegy pontosságú), és ne írd be kézzel, hogy 3,14. A köztes számításoknál sose kerekíts, csak a legvégén!
Digitális segédeszközök használata
Ma már ritkán ülünk neki logarléccel számolni. Ha gyakran kell körszeletet számolnod, érdemes lehet Excel táblázatot készíteni rá. 💻
Íme egy kis segédlet az Excel képletekhez:
- Ha a szöged fokban van az A1 cellában, a sugár a B1 cellában:
= (B1^2 / 2) * ((A1 * PI() / 180) - SIN(A1 * PI() / 180))
Látod? Az Excel trigonometriai függvényei (SIN) alapértelmezetten radiánt várnak, ezért a fokot át kell konvertálni a* PI() / 180résszel, vagy aRADIÁN(A1)függvénnyel.
Ez a kis automatizálás rengeteg időt spórolhat meg, és csökkenti a gépelési hibák lehetőségét.
Konverziós táblázat (Szög $\to$ Radián)
Hogy segítsük a gyors tájékozódást, itt egy második táblázat a leggyakoribb szögekkel.
| Szög (Fok) | Szög (Radián) | $\sin(\alpha)$ értéke | Megjegyzés |
|---|---|---|---|
| $30^\circ$ | $\pi/6 \approx 0,524$ | 0,5 | Keskeny szelet |
| $45^\circ$ | $\pi/4 \approx 0,785$ | $\sqrt{2}/2 \approx 0,707$ | Gyakori építészeti szög |
| $60^\circ$ | $\pi/3 \approx 1,047$ | $\sqrt{3}/2 \approx 0,866$ | Szabályos háromszög alapja |
| $90^\circ$ | $\pi/2 \approx 1,571$ | 1 | Negyedkörből kivont derékszögű háromszög |
| $120^\circ$ | $2\pi/3 \approx 2,094$ | $\sqrt{3}/2 \approx 0,866$ | Tompaszögű szelet |
| $180^\circ$ | $\pi \approx 3,142$ | 0 | Félkör (itt a képlet egyszerűsödik $r^2\pi/2$-re) |
Gyakori hibák elkerülése
Tapasztalatom szerint a legtöbb hiba nem a matematikai tudás hiányából fakad, hanem figyelmetlenségből. Íme a "toplista", amire figyelned kell:
- A számológép rossz módja: Ez az abszolút győztes. Beírod, hogy $\sin(30)$, de a gép radiánban van, és kapsz egy teljesen fals eredményt. Mindig ellenőrizd a kijelzőn a kis D vagy R betűt!
- Átmérő vs. Sugár: A feladatok gyakran átmérőt adnak meg ("egy 20 centis csőben…"). Ha ezt behelyettesíted sugárnak, az eredményed a négyszerese lesz a valósnak! Mindig felezd meg az átmérőt.
- Mértékegységek keverése: A sugár méterben van, a húr centiméterben? Az eredmény katasztrofális lesz. Mindent válts át egy közös mértékegységre a számolás előtt.
Építészeti különlegességek: a gótikus ablakok titka
Ha már körszeletekről beszélünk, nem mehetünk el szó nélkül az építészet egyik legszebb korszaka mellett. A gótikus stílus csúcsíves ablakai nem mások, mint geometriai bravúrok. Egy csúcsív két körív metszéséből jön létre. 🏗️
A tervezőknek pontosan kellett tudniuk a körszelet területének kiszámítása mellett az ívek hosszát és a terhelés eloszlását is. Bár ők szerkesztéssel (körzővel és vonalzóval) dolgoztak, a mögöttes matematika ugyanaz volt. Ha ma restaurálnak egy ilyen épületet, a modern mérnökök pontosan ezeket a körszelet-képleteket használják az anyagmennyiség és a statika ellenőrzésére.
Integrálszámítás: a "nagyágyú"
Azoknak, akik szeretik a kihívásokat, vagy mélyebben érdeklődnek a matematika iránt, érdemes megemlíteni, hogyan lehetne ezt integrállal megoldani.
A kört leírhatjuk az $x^2 + y^2 = r^2$ egyenlettel. Ebből $y = \sqrt{r^2 – x^2}$.
A körszelet területe meghatározható, ha ezt a függvényt integráljuk egy adott intervallumon (a húr egyik végétől a másikig), és levonjuk belőle a megfelelő téglalap vagy háromszög területét. Bár ez a módszer sokkal bonyolultabbnak tűnik a sima geometriai képletnél, rendkívül hasznos, ha nem szabályos körről, hanem ellipszisről vagy más görbéről van szó, ahol az egyszerű képletek már nem működnek.
Hogyan fejlesztheted a térlátásodat?
A körszeletekkel való munka remekül fejleszti a térlátást és a geometriai gondolkodást. Amikor ránézel egy bonyolult formára, próbáld meg elemeire bontani. Lásd meg benne a háromszögeket, a körcikkeket. Ez a fajta "röntgenlátás" nemcsak a matematikában, hanem a rajzolásban, a barkácsolásban és a tervezésben is hasznos.
Gyakorlásképpen keress kör alakú tárgyakat a környezetedben (tányér, óra, kerék), takard le egy részüket egy egyenes lappal, és próbáld megacsolni, mekkora a takart rész területe a teljeshez képest. Meg fogsz lepődni, mennyire csalóka lehet a szemünk – a matematika viszont sosem hazudik.
Összességében a körszelet nem egy félelmetes szörnyeteg, hanem egy logikus, jól kezelhető idom. A kulcs mindig a felbontás: lásd meg a körcikket, lásd meg a háromszöget, és a kettő különbségeként ott lesz a kezedben a megoldás. Remélem, ez a részletes útmutató segített abban, hogy magabiztosabban nyúlj ehhez a témához, legyen szó iskolai feladatról vagy egy kerti medence tervezéséről.
Mi a különbség a körszelet és a körcikk között?
A körcikk (mint a tortaszelet) a kör középpontjáig ér, két sugár határolja. A körszeletet viszont egy húr vágja le a körből, így nem érinti a középpontot (kivéve, ha félkörről van szó, akkor a húr az átmérő).
Használhatom a képletet, ha a szög nagyobb 180 foknál?
Igen, a radiános képlet ($\frac{1}{2} r^2 (\alpha – \sin \alpha)$) akkor is működik, ha a középponti szög nagyobb, mint 180 fok (konkáv sokszögekhez hasonló esetekben). Ilyenkor a szinusz értéke negatív lehet, ami hozzáadódik a területhez, helyesen növelve azt.
Miért kell radiánban számolni?
A radián a matematika "anyanyelve". A trigonometriai és analízisbeli képletek (mint a deriválás vagy integrálás) sokkal egyszerűbbek radiánban, mert nincs szükség váltószámokra ($\pi/180$). A körszelet területének képlete is sokkal elegánsabb radiánnal.
Hogyan számoljam ki a sugarat, ha csak a húrt és a magasságot ismerem?
Használd a $r = \frac{h^2}{8m} + \frac{m}{2}$ összefüggést, ahol $h$ a húr hossza, $m$ pedig a körszelet magassága (a húr felezőpontja és a körív közötti távolság).
Mi történik, ha a számológépem fokban van, de radiános képletet használok?
Hibás eredményt kapsz. Ha a képletedben $\pi$ szerepel szorzóként a szög mellett, akkor valószínűleg fokban kell megadnod a szöget. Ha a "csupasz" $\alpha$ van a képletben a szinusz függvényen kívül is, akkor radiánt kell használnod, és a gépet is át kell állítani.
Alkalmazható ez a számítás ovális (ellipszis) formákra is?
Közvetlenül nem. Az ellipszis szeletének kiszámítása bonyolultabb, mivel a görbület nem állandó. Ott általában integrálszámítást vagy speciális transzformációkat (az ellipszis "összenyomott körként" való kezelését) kell alkalmazni.
Mennyire pontosak ezek a képletek a valóságban?
A képletek matematikailag egzaktak. A hiba forrása a gyakorlatban mindig a mérés pontatlansága (pl. a húr hosszának mérése) vagy a felhasznált anyagok tökéletlensége (pl. egy tartály nem tökéletes henger). Mérnöki célokra azonban ezek a módszerek bőven elegendőek.
