A háromszög geometriája évezredek óta foglalkoztatja az emberiséget, és számos titkot rejt magában. Egyik legszebb és legfundamentálisabb eleme a háromszögbe írható kör, melynek felfedezése, tulajdonságainak megértése és alkalmazása generációk óta inspirálja a matematikusokat. Ez a kör nem csupán egy absztrakt alakzat, hanem egy olyan geometriai konstrukció, amely elegáns egyszerűséggel kapcsolja össze a háromszög oldalait, szögeit és területét, mélyebb összefüggéseket tárva fel, amelyek a láthatatlan harmóniát alkotják ezen alapvető alakzatok között. Ahogy belemerülünk a téma részleteibe, rá fogunk döbbenni, hogy a háromszögbe írható kör nem csupán egy tankönyvi definíció, hanem egy kulcsfontosságú eszköz a geometriai problémák megoldásában és a matematika szépségének megértésében.
Ez a különleges kör egyedülálló módon érinti a háromszög mindhárom oldalát belülről, és a középpontja – az úgynevezett incenter – pontosan a háromszög szögharmadolóinak metszéspontjában található. Ez a geometriai pont egyenlő távolságra van mindhárom oldaltól, és ez az egyenlő távolság adja a beírható kör sugarát. Cikkünkben átfogóan és részletesen vizsgáljuk meg ezt az érdekes kapcsolatot. Felfedezzük a hozzá kapcsolódó alapvető fogalmakat, elmélyedünk a legfontosabb képletekben, és számos gyakorlati példán keresztül mutatjuk be, hogyan alkalmazhatók ezek az ismeretek. Nem csupán a matematikai precizitásra helyezzük a hangsúlyt, hanem arra is, hogy a téma iránt érdeklődők inspirációt meríthessenek, és ráérezzenek a matematika logikus, mégis meglepő összefüggéseinek szépségére.
Amikor befejezi olvasását, nemcsak a háromszögbe írható kör elméleti alapjait fogja érteni, hanem képes lesz önállóan alkalmazni a tanult képleteket különböző feladatokban. Megismerheti a beírható kör középpontjának meghatározásának módjait, és rálátást kap arra, hogyan kapcsolódik ez a kör más, a háromszöghöz tartozó speciális pontokhoz és körökhöz. Célunk, hogy egyértelmű és közérthető magyarázatokkal, valósághű példákkal és a téma iránti lelkesedéssel gazdagítsuk tudását, így a matematika már nem egy távoli, absztrakt tudományterületnek tűnik majd, hanem egy izgalmas, felfedezésekkel teli kalandnak. Készüljön fel egy utazásra a háromszög rejtett geometriai kincsei közé!
Az alapok: mi is az a háromszögbe írható kör?
A geometriában a háromszögbe írható kör egy olyan kör, amely egy adott háromszög mindhárom oldalát pontosan egy pontban, belülről érinti. Ez a definíció elsőre talán egyszerűnek hangzik, de mélyebb jelentőséggel bír a háromszögek tanulmányozása során. Létrejötte és tulajdonságai elegáns módon mutatják be a geometriai alakzatok közötti összefüggéseket. A beírható kör, amelyet gyakran "incircle"-nek is neveznek angolul, alapvető fontosságú a geometriai problémák megoldásában, és számos más fogalom kiindulópontjául szolgál.
A beírható kör létrejötte egy nagyon speciális geometriai tulajdonságon alapul. Minden háromszögnek van egy és csak egy beírható köre. Ennek a körnek a középpontját, amelyet incenternek nevezünk, a háromszög három belső szögfelezőjének metszéspontja adja. Emlékezzünk vissza, a szögfelező egy olyan szakasz, amely egy háromszög egyik csúcsából indul ki, és pontosan megfelezi az adott csúcsnál lévő szöget. Az a tény, hogy mindhárom szögfelező egyetlen pontban metszi egymást, nem magától értetődő, de rendkívül fontos bizonyíték a háromszög szimmetriájára és belső harmóniájára.
A beírható kör sugara, amelyet általában r-rel jelölünk, a középpontból az oldalakra bocsátott merőleges szakasz hossza. Mivel az incenter egyenlő távolságra van mindhárom oldaltól (ez a szögfelezők definíciójából következik: a szögfelező pontjai egyenlő távolságra vannak a szög száraitól), ez a távolság adja a kör sugarát. Ez a sugár kulcsfontosságú a háromszög területének és kerületének összefüggéseiben.
Gondoljunk csak bele a geometriai konstrukcióba:
- Vegyünk egy tetszőleges háromszöget (ABC).
- Szerkesszük meg az A csúcsnál lévő szög szögfelezőjét.
- Szerkesszük meg a B csúcsnál lévő szög szögfelezőjét.
- A két szögfelező metszéspontja adja meg a beírható kör középpontját, amelyet jelöljünk I-vel (incenter).
- Az I pontból bocsássunk merőlegest az egyik oldalra (például az AB oldalra). Ez a merőleges szakasz (mondjuk ID) hossza lesz a beírható kör sugara (r).
- Rajzoljunk kört az I középponttal és r sugárral. Ez a kör érinteni fogja mindhárom oldalt.
A háromszögbe írható kör létezése és egyedisége a matematika egyik legszebb bizonyítéka, amely rávilágít arra, hogy még a legegyszerűbb alakzatok is rejtett, de mélyen gyökerező rendszert hordoznak magukban. Ez a kör nemcsak a geometria alapköve, hanem számos további tétel és összefüggés kiindulópontja is.
„Minden háromszögben ott rejtőzik egy egyedi kör, amely belülről simogatja mindhárom oldalát, mint egy rejtett szív, amely a forma lényegét hordozza.”
A háromszögbe írható kör sugara
A beírható kör sugara, amelyet hagyományosan r-rel jelölünk, az egyik legfontosabb paraméter a háromszög geometriájában. Ez a sugár nem csupán egy hosszúsági adat, hanem mély összefüggésben áll a háromszög területével, kerületével és oldalhosszúságaival. Megértése és a rá vonatkozó képletek ismerete elengedhetetlen a geometriai feladatok megoldásához. Lássuk a legfontosabb képleteket és azok magyarázatát.
A terület alapján számított sugár
Az egyik leggyakrabban használt és talán leginkább elegáns képlet a beírható kör sugarára a háromszög területének és félkerületének segítségével definiálható. Jelölje a háromszög területét $T$, az oldalhosszúságokat $a, b, c$, és a félkerületet $s$, ahol $s = (a+b+c)/2$. Ekkor a beírható kör sugara:
$r = \frac{T}{s}$
Magyarázat és levezetés:
Képzeljük el a háromszöget (ABC) és a beírható kört a középpontjával (I) és sugarával (r). Kössük össze az incenter I pontot a háromszög csúcsaival (A, B, C). Ezzel három kisebb háromszöget kapunk: AIB, BIC és CIA. Mindegyik háromszögnek az alapja egy-egy oldalhossz (a, b, c), és mindegyiknek a magassága pontosan a beírható kör sugara (r), mivel az incenterből az oldalakra bocsátott merőlegesek éppen az érintési pontokba esnek és hosszuk r.
A háromszög teljes területe (T) tehát a három kisebb háromszög területének összege:
$T = Terület(AIB) + Terület(BIC) + Terület(CIA)$
$T = \frac{c \cdot r}{2} + \frac{a \cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2}$
$T = \frac{r(a+b+c)}{2}$
Mivel $s = (a+b+c)/2$, behelyettesíthetjük $a+b+c = 2s$:
$T = r \cdot s$
Ebből átrendezve megkapjuk a beírható kör sugarát:
$r = \frac{T}{s}$
Ez a képlet kiemelten hasznos, amikor a háromszög területe már ismert, vagy könnyen számítható (például Heron-képlettel, ha az oldalak ismertek).
A háromszög oldalainak segítségével (Heron-képletből származtatva)
Ha a háromszög oldalai $a, b, c$ ismertek, a területet Heron-képlettel is kiszámíthatjuk:
$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
Ezt behelyettesítve az $r = T/s$ képletbe:
$r = \frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}$
$r = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{s^2}}$
$r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$
Ez a forma különösen praktikus, ha csak az oldalhosszúságok állnak rendelkezésre, és nem szeretnénk külön kiszámolni a területet.
Trigonometrikus képletek
A beírható kör sugara trigonometrikus függvények segítségével is kifejezhető, ami akkor lehet hasznos, ha a szögek vagy a körülírható kör sugara (R) is ismert.
-
A szögek felével:
$r = 4R \sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right)$
Ez a képlet a körülírható kör sugarával (R) és a háromszög szögeinek felével dolgozik. Jelentősége abban áll, hogy összekapcsolja a beírható és körülírható körök sugarait, feltárva egy mélyebb geometriai összefüggést. -
Egy oldal és két szög fele alapján:
$r = a \frac{\sin(B/2)\sin(C/2)}{\cos(A/2)}$
Ez a képlet hasznos, ha egy oldal és a két szomszédos szög ismeretes. Hasonló képletek írhatók fel a $b$ és $c$ oldalakra is.
A képletek alkalmazása:
Minden egyes képletnek megvan a maga előnye attól függően, hogy milyen adatok állnak rendelkezésre a háromszögről. Az első képlet ($r=T/s$) a legáltalánosabb és talán a leginkább intuitív, mivel közvetlen kapcsolatot teremt a terület és a kerület között. A Heron-képletből származtatott forma kiváló, ha csak az oldalak ismertek, míg a trigonometrikus képletek akkor válnak fontossá, ha a szögekkel kell dolgozni, vagy ha a körülírható körrel való kapcsolatot vizsgáljuk.
Táblázat 1: A beírható kör legfontosabb képletei
| Képlet | Leírás | Mikor használd? |
|---|---|---|
| $r = \frac{T}{s}$ | A beírható kör sugara a terület ($T$) és a félkerület ($s$) alapján. | Ha a terület és az oldalak (így a félkerület is) ismertek. |
| $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$ | A beírható kör sugara kizárólag az oldalhosszúságok ($a,b,c$) alapján. | Ha csak az oldalak ismertek, és nem akarod külön kiszámolni a területet. |
| $r = 4R \sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right)$ | A beírható kör sugara a körülírható kör sugara ($R$) és a szögek felének szinusza alapján. | Ha a körülírható kör sugara és/vagy a háromszög szögei ismertek. |
| $r = a \frac{\sin(B/2)\sin(C/2)}{\cos(A/2)}$ | A beírható kör sugara egy oldal ($a$) és a két szomszédos szög ($B, C$) felének szinusza és koszinusza alapján. | Ha egy oldal és a két szomszédos szög ismertek, és trigonometriai összefüggésekre van szükség. |
„A beírható kör sugara sokkal több, mint egy egyszerű hosszúsági adat; a háromszög belső harmóniáját tükrözi, a terület, a kerület és a szögek közötti mély, matematikai dialógust.”
A beírható kör középpontja: az incenter
Az incenter, vagyis a háromszögbe írható kör középpontja, az egyik négy nevezetes pont közül, amelyek minden háromszögben megtalálhatók (a másik három a súlypont, a magasságpont és a körülírható kör középpontja). Az incenter jelentősége abban rejlik, hogy nem csupán egy koordináta-pár, hanem egy olyan geometriai entitás, amely számos egyedi és hasznos tulajdonsággal rendelkezik, amelyek mélyebb betekintést engednek a háromszögek belső szerkezetébe.
Definíció és geometriai elhelyezkedés
Az incenter definíció szerint a háromszög három belső szögfelezőjének metszéspontja. Ez az a pont, amely egyenlő távolságra van a háromszög mindhárom oldalától. Ezt a távolságot nevezzük a beírható kör sugarának, r-nek.
Miért metszik egymást a szögfelezők egy pontban? Ez a szögfelezők tulajdonságából ered: a szögfelező minden pontja egyenlő távolságra van a szög két szárától. Ha veszünk két szögfelezőt, mondjuk az A és B csúcsok szögfelezőit, azok metszeni fogják egymást egy I pontban. Mivel I rajta van az A szög szögfelezőjén, egyenlő távolságra van az AB és AC oldalaktól. Mivel I rajta van a B szög szögfelezőjén, egyenlő távolságra van az AB és BC oldalaktól. Ebből következik, hogy I egyenlő távolságra van az AC és BC oldalaktól is, tehát rajta kell lennie a C szög szögfelezőjén is. Ez bizonyítja, hogy mindhárom szögfelező egyetlen pontban metszi egymást.
Az incenter koordinátái
Ha a háromszög csúcsainak koordinátái ismertek, az incenter koordinátái is meghatározhatók. Legyenek a háromszög csúcsai $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ és $C(x_C, y_C)$, és az oldalhosszúságok $a$ (BC oldal hossza), $b$ (AC oldal hossza) és $c$ (AB oldal hossza). Ekkor az incenter $I(x_I, y_I)$ koordinátái a következő súlyozott átlagképletekkel adhatók meg:
$x_I = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$
$y_I = \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}$
Ezek a képletek azt mutatják, hogy az incenter a csúcsok "oldalak súlyaival" súlyozott átlaga. Minél hosszabb egy oldal, annál nagyobb "súlya" van a szemközti csúcs koordinátájának az incenter helyzetének meghatározásában. Ez az összefüggés rendkívül hasznos, ha analitikus geometriai módszerekkel dolgozunk.
Az incenter tulajdonságai
Az incenter több fontos tulajdonsággal is rendelkezik:
- Egyenlő távolság az oldalaktól: Ez a legfontosabb definíciós tulajdonság. Az incenterből az oldalakra bocsátott merőlegesek hossza megegyezik a beírható kör sugarával ($r$).
- A háromszög belsejében helyezkedik el: Az incenter mindig a háromszög belsejében található. Mivel minden belső szögfelező a háromszög belsejében halad, metszéspontjuk is ott kell, hogy legyen. Ez megkülönbözteti például a magasságponttól, amely tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívülre eshet.
- A legközelebbi pont az oldalakhoz: Bizonyos értelemben az incenter a "legközelebbi" pont az oldalakhoz. Bármely más pont a háromszög belsejében legalább az egyik oldaltól távolabb lesz, mint az incenter.
- Kapcsolat az érintési pontokkal: A beírható kör érintési pontjai az oldalakon azok a pontok, ahol az incenterből az oldalakra bocsátott merőlegesek metszik az oldalakat. Ezek a pontok felosztják az oldalakat bizonyos arányban, például az a oldalon lévő érintési pont a $s-a$ és $s-a$ hosszúságú szakaszokra osztja az oldalt (pontosabban $s-b$ és $s-c$ ha $a$ az alap, akkor az $a$ oldalon $x_a = s-a$ és $y_a = s-a$ – nem pontos. A helyes felosztás: $c_1=s-c$, $b_1=s-b$ a $BC$ oldalon az érintési pontig, $a_1=s-a$, $c_2=s-c$ a $CA$ oldalon az érintési pontig és $a_2=s-a$, $b_2=s-b$ az $AB$ oldalon az érintési pontig.
A pontos felosztás:
Az $AB$ oldalon az érintési pont távolsága $A$-tól $s-a$, $B$-től $s-b$.
A $BC$ oldalon az érintési pont távolsága $B$-től $s-b$, $C$-től $s-c$.
A $CA$ oldalon az érintési pont távolsága $C$-től $s-c$, $A$-tól $s-a$.
Ezek az összefüggések a külső pontból húzott érintők egyenlőségén alapulnak.
Az incenter tehát nem csupán egy metszéspont, hanem egy speciális központi pont, amely mélyen gyökerezik a háromszög geometriai tulajdonságaiban. Megértése kulcsfontosságú a beírható körrel kapcsolatos problémák megoldásához és a háromszög egészének elemzéséhez.
„Az incenter a háromszög geometriai szíve, amely a harmónia központjaként biztosítja, hogy minden oldal egyenlő távolságra legyen a belső magtól, és ezáltal a legbelsőbb egyensúlyt teremti meg.”
Kapcsolat más háromszög-elemekkel
A háromszögbe írható kör és annak középpontja, az incenter, nem elszigetelt fogalmak; éppen ellenkezőleg, rendkívül gazdag és komplex kapcsolatrendszerben állnak a háromszög más nevezetes pontjaival, köreivel és egyeneseivel. Ezen összefüggések feltárása mélyebb betekintést nyújt a geometria belső struktúrájába és a matematikai elegancia megértésébe.
Az incenter és az Euler-egyenes
Az Euler-egyenes egy olyan speciális egyenes, amelyen egy általános háromszög négy nevezetes pontja közül három mindig rajta van: a körülírható kör középpontja (O), a súlypont (G) és a magasságpont (H). A negyedik nevezetes pont, az incenter (I), azonban nem feltétlenül illeszkedik az Euler-egyenesre. Valójában az incenter csak egyenlő szárú háromszögek esetén illeszkedik az Euler-egyenesre (mivel ilyenkor az Euler-egyenes megegyezik a szimmetriatengellyel, amelyen az incenter is rajta van). Egyenlő oldalú háromszög esetén mind a négy nevezetes pont egybeesik, így természetesen az incenter is az Euler-egyenesen van.
Ez a különbség rávilágít arra, hogy míg a körülírható kör középpontja, a súlypont és a magasságpont elsősorban a háromszög csúcsainak és oldalainak struktúrájával vannak kapcsolatban, addig az incenter a szögek belső felosztására fókuszál.
Kapcsolat a körülírható körrel (Euler-tétel)
A beírható kör és a körülírható kör sugara (jelölje $R$) és középpontjai (I és O) között van egy csodálatos összefüggés, amelyet Euler-tételnek nevezünk (néha Euler-féle távolságtételnek is hívják a nevezetes pontok távolságáról):
$OI^2 = R(R – 2r)$
Ahol $OI$ a beírható kör középpontja (I) és a körülírható kör középpontja (O) közötti távolság.
Ez a tétel rendkívül fontos, mivel direkt kapcsolatot teremt a két legfontosabb kör sugarai és középpontjainak távolsága között. Ebből a képletből azonnal látszik, hogy $R \ge 2r$ mindig igaz egy háromszög esetén, és az egyenlőség $(R=2r)$ pontosan akkor áll fenn, ha a háromszög egyenlő oldalú. Ez azt jelenti, hogy a beírható kör sugara soha nem lehet nagyobb, mint a körülírható kör sugarának fele. Ez egy alapvető, de mégis lenyűgöző tény a háromszögekről.
Kapcsolat a hozzáírt körökkel
Minden háromszögnek van egy beírható köre és három hozzáírt köre. A hozzáírt körök (excircles) hasonlóak a beírható körhöz abban, hogy egy adott oldalt érintenek belülről, de a másik két oldal meghosszabbítását érintik.
Minden hozzáírt kör egy-egy oldalhoz tartozik. Például az $a$ oldalhoz tartozó hozzáírt kör érinti az $a$ oldalt és a $b, c$ oldalak meghosszabbításait.
A hozzáírt körök középpontjai (excenters) az egyik belső szögfelező és a másik két külső szögfelező metszéspontjai.
A beírható kör sugara ($r$) és a három hozzáírt kör sugara ($r_a, r_b, r_c$) között is számos összefüggés létezik. Például a területre vonatkozó képlet a hozzáírt körökre is kiterjeszthető:
$T = r_a(s-a) = r_b(s-b) = r_c(s-c)$
Ebből következik, hogy $r_a = \frac{T}{s-a}$, $r_b = \frac{T}{s-b}$, $r_c = \frac{T}{s-c}$.
Továbbá, van egy másik szép összefüggés, amely mind a négy sugarat (beírható és hozzáírt) összekapcsolja:
$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}$
Ez a képlet rávilágít arra, hogy a beírható és a hozzáírt körök szorosan kapcsolódnak egymáshoz, és egy nagyobb, harmonikus rendszert alkotnak a háromszögön belül és kívül.
Érintési pontok távolságai
Ahogy már említettük, a beírható kör érintési pontjai felosztják a háromszög oldalait bizonyos szakaszokra. Az A csúcstól a BC oldalon lévő érintési pontig mért távolság $s-a$, a B csúcstól a CA oldalon lévő érintési pontig $s-b$, és a C csúcstól az AB oldalon lévő érintési pontig $s-c$.
Ezen szakaszok segítségével számos geometriai tétel bizonyítható, és alapul szolgálnak a háromszög oldalai és a beírható kör közötti kapcsolat mélyebb megértéséhez.
Ezek az összefüggések mutatják, hogy a beírható kör nem csak egy magában álló alakzat, hanem szerves része a háromszög komplex geometriai szerkezetének, összekötő kapocsként működve a különböző nevezetes pontok és körök között.
„A geometria igazi szépsége a kapcsolatok hálójában rejlik, ahol a beírható kör a körülírható körrel és a hozzáírt körökkel együtt egyfajta kozmikus táncot jár a háromszög körül, feltárva a formák örök harmóniáját.”
Példák és alkalmazások
A matematikai fogalmak igazán akkor elevenednek meg, ha konkrét példákon keresztül értjük meg működésüket és látjuk alkalmazhatóságukat. A háromszögbe írható körrel kapcsolatos képletek és fogalmak sem kivételek. Most néhány példán keresztül bemutatjuk, hogyan alkalmazhatók a tanultak, különböző típusú háromszögekre.
Példa 1: Általános háromszög (oldalhosszúságok alapján)
Vegyünk egy háromszöget, amelynek oldalhosszúságai $a=7$ cm, $b=8$ cm és $c=9$ cm. Számítsuk ki a beírható kör sugarát ($r$).
Megoldás lépésről lépésre:
-
Számítsuk ki a félkerületet ($s$):
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$ cm. -
Számítsuk ki a háromszög területét ($T$) Heron-képlettel:
$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$T = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}$
$T = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}$
$T = \sqrt{12 \cdot 60}$
$T = \sqrt{720}$
$T = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$ cm². -
Számítsuk ki a beírható kör sugarát ($r$) a $r = T/s$ képlettel:
$r = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5}$ cm.
Tehát a beírható kör sugara $\approx 2.236$ cm.
Alternatív megoldás (közvetlenül az oldalakból):
Használhatjuk a közvetlen képletet is: $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$
$r = \sqrt{\frac{(12-7)(12-8)(12-9)}{12}}$
$r = \sqrt{\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{12}}$
$r = \sqrt{\frac{60}{12}}$
$r = \sqrt{5}$ cm.
Mindkét módszer ugyanahhoz az eredményhez vezet, ami megerősíti a képletek konzisztenciáját.
Példa 2: Derékszögű háromszög
Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, melynek befogói $a=6$ cm és $b=8$ cm. Számítsuk ki a beírható kör sugarát.
Megoldás lépésről lépésre:
-
Számítsuk ki az átfogót ($c$) Pitagorasz-tétellel:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm. -
Számítsuk ki a félkerületet ($s$):
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+8+10}{2} = \frac{24}{2} = 12$ cm. -
Számítsuk ki a háromszög területét ($T$):
Derékszögű háromszög esetén a terület a befogók szorzatának fele:
$T = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24$ cm². -
Számítsuk ki a beírható kör sugarát ($r$):
$r = \frac{T}{s} = \frac{24}{12} = 2$ cm.
Speciális képlet derékszögű háromszögre:
Derékszögű háromszög esetén van egy egyszerűsített képlet is a beírható kör sugarára: $r = \frac{a+b-c}{2}$.
Ellenőrizzük ezzel:
$r = \frac{6+8-10}{2} = \frac{14-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ cm.
Az eredmény megegyezik, ami megerősíti a speciális képlet helyességét.
Példa 3: Egyenlő oldalú háromszög
Vegyünk egy egyenlő oldalú háromszöget, amelynek oldalhosszúsága $a=10$ cm. Számítsuk ki a beírható kör sugarát.
Megoldás lépésről lépésre:
-
Számítsuk ki a félkerületet ($s$):
$s = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2} = \frac{3 \cdot 10}{2} = 15$ cm. -
Számítsuk ki a háromszög területét ($T$):
Egyenlő oldalú háromszög területének képlete: $T = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
$T = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ cm². -
Számítsuk ki a beírható kör sugarát ($r$):
$r = \frac{T}{s} = \frac{25\sqrt{3}}{15} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm.
Tehát a beírható kör sugara $\approx 2.887$ cm.
Alternatív megoldás (a körülírható kör sugara alapján):
Egyenlő oldalú háromszög esetén a körülírható kör sugara $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$R = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm.
Egyenlő oldalú háromszög esetén $R = 2r$.
Tehát $r = \frac{R}{2} = \frac{10\sqrt{3}/3}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm.
Az eredmény megegyezik.
✍️ Alkalmazás: Optimalizálás egy építési feladatban
Egy mérnöknek három, szabálytalan alakú, szomszédos épület közé kell elhelyeznie egy kör alakú víztartályt. Az épületek alaprajza egy háromszöget formál, és a víztartálynak úgy kell elhelyezkednie, hogy mindhárom épületfalat érintse, maximalizálva ezzel a tartály méretét. Az épületfalak hossza 15 m, 18 m és 21 m. Mekkora lehet a maximális sugarú tartály?
Megoldás:
Ez pontosan a háromszögbe írható kör sugárának meghatározását jelenti.
-
Oldalak: $a=15$, $b=18$, $c=21$.
-
Félkerület ($s$): $s = \frac{15+18+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ m.
-
Terület ($T$) Heron-képlettel:
$T = \sqrt{27(27-15)(27-18)(27-21)}$
$T = \sqrt{27 \cdot 12 \cdot 9 \cdot 6}$
$T = \sqrt{3^3 \cdot (2^2 \cdot 3) \cdot 3^2 \cdot (2 \cdot 3)}$
$T = \sqrt{2^3 \cdot 3^7}$ — ez nem optimális szorzás, inkább:
$T = \sqrt{27 \cdot 12 \cdot 9 \cdot 6} = \sqrt{324 \cdot 54} = \sqrt{17496}$
Vagy rendezzük másképp: $27 \cdot 12 \cdot 9 \cdot 6 = (9 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 4) \cdot 9 \cdot (2 \cdot 3) = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 3 = 729 \cdot 24$
$T = \sqrt{27 \cdot 12 \cdot 9 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 9) \cdot (3 \cdot 4) \cdot 9 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2 \cdot 3^5 \cdot 4 \cdot 9} = \sqrt{2 \cdot 3^5 \cdot 2^2 \cdot 3^2} = \sqrt{2^3 \cdot 3^7}$
$T = \sqrt{8 \cdot 2187} = \sqrt{17496}$
$T = \sqrt{36 \cdot 486} = 6 \sqrt{486} = 6 \sqrt{81 \cdot 6} = 6 \cdot 9 \sqrt{6} = 54\sqrt{6}$ m². -
Beírható kör sugara ($r$):
$r = \frac{T}{s} = \frac{54\sqrt{6}}{27} = 2\sqrt{6}$ m.
Tehát a tartály maximális sugara $2\sqrt{6}$ m, ami $\approx 4.899$ m.
Ezek a példák jól demonstrálják, hogy a háromszögbe írható kör fogalma és a hozzá tartozó képletek nem csak elméleti érdekességek, hanem praktikus eszközök is a geometriai számításokban és a valós problémák megoldásában.
„A matematika ereje abban rejlik, hogy absztrakt képletei konkrét, valós problémák megoldásában nyújtanak segítséget, áthidalva az elmélet és a gyakorlat közötti szakadékot.”
Speciális háromszögek és a beírható kör
A háromszögbe írható kör fogalma minden háromszögre érvényes, de bizonyos speciális háromszögtípusok esetén a beírható kör és annak tulajdonságai még egyszerűbbé válnak, vagy különleges összefüggéseket mutatnak. Ezek az esetek rávilágítanak a geometria belső rendjére és a szimmetria fontosságára.
Derékszögű háromszög
Ahogy már említettük, a derékszögű háromszög esetén a beírható kör sugara különösen egyszerűen számítható, ha ismertek a befogók ($a, b$) és az átfogó ($c$). A képlet:
$r = \frac{a+b-c}{2}$
Miért van ez a speciális képlet?
Tekintsük a derékszögű háromszöget és a beírható kört. A kör érintési pontjai az oldalakon legyenek $D, E, F$. Tudjuk, hogy az incenterből az érintési pontokig tartó szakaszok merőlegesek az oldalakra, és hosszuk $r$.
A derékszögű csúcsnál (legyen ez C) lévő érintési pont és az incenter $I$ egy $r$ oldalú négyzetet alkot az $r$ sugarak és a $90^\circ$-os szög miatt. Ez azt jelenti, hogy a C csúcsból az érintési pontokig tartó szakaszok mindkét oldalon $r$ hosszúságúak.
A többi érintési pont távolsága a csúcsoktól $s-a$, $s-b$, $s-c$ volt.
Ha $C$ a derékszögű csúcs, akkor a $CA$ befogón ($b$ oldal) az érintési pont $s-c$ távolságra van $C$-től. A $CB$ befogón ($a$ oldal) az érintési pont szintén $s-c$ távolságra van $C$-től.
De a derékszögű csúcsnál a két befogó érintési pontja $r$ távolságra van a C-től. Tehát $s-c = r$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$, így:
$\frac{a+b+c}{2} – c = r$
$\frac{a+b+c-2c}{2} = r$
$\frac{a+b-c}{2} = r$
Ez a levezetés rávilágít a geometria szépségére és az egyszerűsítésekre, amelyek speciális esetekben adódnak.
Egyenlő oldalú (szabályos) háromszög
Az egyenlő oldalú háromszög a legszimmetrikusabb háromszög, és számos nevezetes pontja (incenter, körülírható kör középpontja, súlypont, magasságpont) egybeesik.
Ha az oldalhosszúság $a$, akkor a beírható kör sugara:
$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Levezetés:
Korábban már kiszámoltuk, hogy $r = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ egy $a=10$ esetében. Helyettesítsük be $a=10$ az új képletbe: $r = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$. Ez megegyezik.
Egy másik módszer:
Egyenlő oldalú háromszögben a magasság $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Az incenter egyben a súlypont is, és a súlypont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja. Mivel a magasság egyben súlyvonal és szögfelező is, az incenter a magasságot 2:1 arányban osztja fel úgy, hogy az $r$ a magasság alsó harmada.
Tehát $r = \frac{1}{3}m = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Ez az összefüggés a $R = 2r$ tulajdonsággal is kapcsolatban áll, ahol $R$ a körülírható kör sugara. Az egyenlő oldalú háromszögben $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Ekkor $r = \frac{R}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Egyenlő szárú háromszög
Egy egyenlő szárú háromszögben, ahol a két szár hossza megegyezik, és a hozzájuk tartozó alapon fekvő szögek is egyenlőek, a beírható kör középpontja (incenter) a háromszög szimmetriatengelyén helyezkedik el. Ez a szimmetriatengely egyben a szárak közötti szög szögfelezője, a bázis felezőmerőlegese és magassága is.
Ebben az esetben a beírható kör sugara a standard $r = T/s$ képlettel számítható, de a szimmetria miatt a középpont helyzete egyszerűbben meghatározható. Az incenter koordinátái is egyszerűbbek, ha a háromszöget megfelelően helyezzük el a koordináta-rendszerben (pl. az alap a x-tengelyen, és a szimmetriatengely az y-tengelyen).
Példa egyenlő szárú háromszögre:
Legyen egy egyenlő szárú háromszög alapja $b=10$, szárai $a=13$.
- Félkerület ($s$): $s = \frac{13+13+10}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
- Magasság ($m_b$): A magasság az alapot felezi, így kapunk két derékszögű háromszöget $5^2 + m_b^2 = 13^2 \Rightarrow 25 + m_b^2 = 169 \Rightarrow m_b^2 = 144 \Rightarrow m_b = 12$.
- Terület ($T$): $T = \frac{b \cdot m_b}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60$.
- Beírható kör sugara ($r$): $r = \frac{T}{s} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$.
Ez a fajta elemzés segít mélyebben megérteni, hogyan viselkedik a beírható kör a különböző geometriai alakzatokban, és hogyan használhatjuk ki a szimmetriát a számítások egyszerűsítésére.
„A geometria igazi esszenciája a szabályosságban és a szimmetriában rejlik; a beírható kör különleges viselkedése a speciális háromszögekben rávilágít erre az örök rendre, amely az alakzatok alapját képezi.”
Történelmi áttekintés és érdekességek
A matematika, különösen a geometria, nem egy statikus tudományág, hanem évezredes fejlődés eredménye, melynek során számos kultúra és gondolkodó járult hozzá tudásunk gyarapításához. A háromszögbe írható kör és a hozzá kapcsolódó fogalmak is hosszú történelmi utat jártak be.
Az ókori görögök öröksége
A háromszög geometriájának rendszerezése és a nevezetes pontok, körök felfedezése elsősorban az ókori görög matematikusokhoz köthető.
Euklidész (kb. Kr. e. 325–265) az "Elemek" című monumentális művében már tárgyalja a szögfelezők metszéspontjának létezését, és ebből következően a háromszögbe írható kör szerkesztését. Euklidész módszere a szögfelezők metszéspontjának megtalálásán alapult, és bár nem feltétlenül használta a "incenter" vagy "incircle" kifejezéseket, a koncepció alapjait ő fektette le. Az "Elemek" negyedik könyve foglalkozik a körökkel és a sokszögekkel, beleértve a háromszögbe írható és körülírható köröket. A III. könyv 16-os tétele például az érintési pontok tulajdonságait vizsgálja.
Az ókori görögök nem csupán a szerkesztési módszereket, hanem a kapcsolódó tételeket is felfedezték, mint például azt, hogy a szögfelező minden pontja egyenlő távolságra van a szög száraitól – ez a tulajdonság alapvető a beírható kör középpontjának meghatározásában.
A középkor és az iszlám világ hozzájárulása
A görög matematika hanyatlása után a tudás nagy része az iszlám világba került, ahol arab és perzsa tudósok továbbfejlesztették azt. A 9-15. században olyan matematikusok, mint Al-Khwarizmi, Al-Biruni és Omar Khayyam, nemcsak megőrizték, hanem új eredményekkel gazdagították is a görög geometriát. Bár specifikusan a "háromszögbe írható kör" témában nem mindig azonosíthatóak különleges "új" tételek az európai görög örökséghez képest, az analitikus megközelítések fejlesztése és a trigonometria finomítása hozzájárult a későbbiekben a képletek modern formájához.
A reneszánsz és a modern matematika
Az európai reneszánsz idején, amikor a görög szövegek újra felfedezésre kerültek, a geometria újjáéledt. Olyan matematikusok, mint Viète, Descartes és Euler, új perspektívákat nyitottak meg.
Leonhard Euler (1707–1783) a 18. század egyik legnagyobb matematikusa volt, és ő nevéhez fűződik az Euler-tétel ($OI^2 = R(R – 2r)$), amely összekapcsolja a beírható és a körülírható körök sugarait és középpontjainak távolságát. Ez a tétel elegánsan mutatja be a két kör közötti mély kapcsolatot, és a modern geometria egyik sarokkövévé vált.
Egyéb érdekességek és tételek
- Poncelet-tétel: Bár nem szorosan a beírható körről szól, hanem az általánosabb érintő körökről, ez a tétel egy n-szögbe és egy n-szöget körülíró körökről szóló mélyebb összefüggést tár fel.
- Feuerbach-tétel: Ez a tétel (Karl Wilhelm Feuerbach, 1822) kimondja, hogy a kilenc pontos kör érinti a háromszög beírható körét és a három hozzáírt körét. Ez egy lenyűgöző felfedezés, amely az incenter szerepét még inkább kiemeli egy komplexebb geometriai hálózatban. A kilenc pontos kör egy másik nevezetes kör, amely a háromszög kilenc nevezetes pontján (az oldalak felezőpontjai, a magasságok talppontjai és a csúcsoktól a magasságpontig terjedő szakaszok felezőpontjai) halad át.
A háromszögbe írható kör története tehát nem csupán egy fogalom definíciójának krónikája, hanem egy utazás a matematikai gondolkodás fejlődésén keresztül, amely rávilágít az emberi intellektus azon képességére, hogy mély és elegáns összefüggéseket fedezzen fel a körülöttünk lévő világ formáiban.
„A geometria az emberiség kollektív emlékezete, ahol minden vonal, minden pont és minden kör egy-egy fejezetet képvisel a tudás évezredes fejlődésében, tanúskodva az örök felfedezés szomjáról.”
Haladóbb koncepciók és további összefüggések
Miután megértettük a háromszögbe írható kör alapjait és annak kapcsolódását más egyszerűbb geometriai elemekhez, érdemes betekintést nyerni néhány haladóbb koncepcióba is. Ezek az összefüggések további rétegeket tárnak fel a háromszög belső szerkezetében, és összekapcsolják a beírható kört bonyolultabb geometriai tételekkel.
A beírható kör és a hozzáírt körök rendszere
Ahogy már érintettük, minden háromszögnek van egy beírható köre és három hozzáírt köre. Ez a négy kör egy koherens rendszert alkot, amelynek középpontjai és sugarai között számos szép összefüggés létezik. A beírható kör az incenterrel (I), a hozzáírt körök a hozzáírt körközéppontokkal (excenter) rendelkeznek ($I_A, I_B, I_C$). Ezek a pontok együtt alkotják a háromszög négy érintő középpontját.
- Ortocentrikus rendszer: Az $I_A, I_B, I_C$ pontok (a hozzáírt körök középpontjai) egy olyan háromszöget alkotnak, amelynek magasságpontja pontosan az incenter (I). Ez egy csodálatos tulajdonság, amely azt mutatja, hogy az incenter nem csupán a "belső" kör középpontja, hanem egy nagyobb, külső rendszer szerves része is.
- Euler-kör a hozzáírt körök középpontjaihoz: Az $I_A, I_B, I_C$ háromszög körülírható körének középpontja megegyezik az eredeti háromszög ($ABC$) körülírható körének középpontjával ($O$). A sugara pedig $2R$.
Ez a rendszer, a beírható és hozzáírt körök együttese, a háromszög tangentális körrendszerének alapját képezi, ami a körök és sokszögek érintkezését vizsgáló geometria fontos része.
A Feuerbach-kör (a kilenc pontos kör) és kapcsolata az incenterrel
A Feuerbach-kör egy másik nevezetes kör, amely egy háromszög kilenc pontján halad át (az oldalak felezőpontjai, a magasságok talppontjai, és a csúcsoktól a magasságpontig terjedő szakaszok felezőpontjai).
A Feuerbach-tétel állítása szerint a kilenc pontos kör érinti a háromszög beírható körét és mindhárom hozzáírt körét. Ez egy figyelemre méltó és mély eredmény, amely a modern euklideszi geometria egyik ékköve. Az érintés négy ponton történik: a beírható körrel egy belső érintési pontban, a hozzáírt körökkel pedig három külső érintési pontban.
Ez a tétel azt mutatja, hogy a beírható kör nem csak a háromszög oldalait érinti, hanem kapcsolatban áll más, komplexebb geometriai alakzatokkal is, mint a kilenc pontos kör, amely számos más pontot is összeköt.
Gergonne-pont és Nagel-pont
- Gergonne-pont: Ez a pont a beírható kör érintési pontjaiból a szemközti csúcsokba húzott egyenesek metszéspontja. Pontosabban: ha a beírható kör az $a, b, c$ oldalakat $D, E, F$ pontokban érinti, akkor az $AD, BE, CF$ szakaszok egy pontban metszik egymást, ez a Gergonne-pont ($G_e$). Ez a pont a beírható körrel szoros kapcsolatban álló nevezetes pont.
- Nagel-pont: Hasonlóan, a hozzáírt körök érintési pontjaiból a szemközti csúcsokba húzott egyenesek is egy pontban metszik egymást. Ha az $a$ oldalhoz tartozó hozzáírt kör az $a$ oldalt $D_A$ pontban érinti, a $b$ oldalhoz tartozó $D_B$ pontban és a $c$ oldalhoz tartozó $D_C$ pontban, akkor az $AD_A, BD_B, CD_C$ szakaszok egy pontban metszik egymást, ez a Nagel-pont ($N_a$).
Mind a Gergonne-pont, mind a Nagel-pont a ceviánokhoz (egy csúcsból induló, a szemközti oldalt metsző szakaszok) kapcsolódó speciális pontok, amelyek a háromszögbe és a hozzáírt körökbe írható körök érintési pontjaival állnak összefüggésben.
A beírható kör és a tangenciális háromszög
A beírható kör érintési pontjai a háromszög oldalain egy új háromszöget alkotnak, amelyet tangenciális háromszögnek (vagy érintési háromszögnek) nevezünk. Ennek a háromszögnek a tulajdonságai is szorosan összefüggnek az eredeti háromszög és a beírható kör tulajdonságaival.
Például, a tangenciális háromszög belső szögei kifejezhetők az eredeti háromszög szögeivel. Az A csúccsal szemközti szög $\frac{\pi – A}{2}$ (azaz $90^\circ – A/2$), és így tovább. Ezáltal a beírható kör közvetve egy új, származtatott háromszöget is generál.
Ezek a haladóbb koncepciók és tételek azt mutatják, hogy a háromszögbe írható kör nem csupán egy izolált fogalom, hanem egy beágyazott, központi elem egy sokkal nagyobb és komplexebb geometriai ökoszisztémában. A matematikában gyakran az ilyen összekapcsolódások és a különböző elemek közötti harmónia jelenti a legnagyobb felfedezést és inspirációt.
„A matematika legnagyobb csodája nem az elszigetelt igazságokban rejlik, hanem abban a hihetetlen hálózatban, ahogy az egyszerű fogalmak bonyolultabb rendszerekbe épülve feltárják a világegyetem rejtett szimmetriáit és mélységeit.”
Táblázat 2: Beírható kör paraméterei különböző háromszögtípusokra
| Háromszög típusa | Oldalhosszúságok (példa) | Félkerület (s) | Terület (T) | Beírható kör sugara (r) | Incenter (I) koordinátái (példa $A(0,0), B(x_B,0), C(x_C,y_C)$ esetén) | Érintési pontok távolsága a csúcsoktól |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Általános | $a=7, b=8, c=9$ | 12 | $12\sqrt{5}$ | $\sqrt{5} \approx 2.24$ | $I_x = \frac{7x_A+8x_B+9x_C}{24}$, $I_y = \frac{7y_A+8y_B+9y_C}{24}$ | $A: s-a=5, s-b=4, s-c=3$ |
| $B: s-b=4, s-a=5, s-c=3$ | ||||||
| $C: s-c=3, s-a=5, s-b=4$ | ||||||
| Derékszögű | $a=6, b=8, c=10$ | 12 | 24 | 2 | $I_x = \frac{6x_A+8x_B+10x_C}{24}$, $I_y = \frac{6y_A+8y_B+10y_C}{24}$ | $A: s-a=6, s-b=4, s-c=2$ |
| (Ha $C=(0,0), A=(8,0), B=(0,6)$, akkor $I=(2,2)$) | $B: s-b=4, s-a=6, s-c=2$ | |||||
| $C: s-c=2, s-a=6, s-b=4$ | ||||||
| Egyenlő oldalú | $a=10, b=10, c=10$ | 15 | $25\sqrt{3}$ | $\frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.89$ | Ha $A=(0,0), B=(10,0), C=(5, 5\sqrt{3})$, akkor $I=(5, \frac{5\sqrt{3}}{3})$ | $A: s-a=5, s-b=5, s-c=5$ |
| $B: s-b=5, s-a=5, s-c=5$ | ||||||
| $C: s-c=5, s-a=5, s-b=5$ | ||||||
| Egyenlő szárú | $a=13, b=13, c=10$ | 18 | 60 | $\frac{10}{3} \approx 3.33$ | $I_x = \frac{13x_A+13x_B+10x_C}{36}$, $I_y = \frac{13y_A+13y_B+10y_C}{36}$ | $A: s-a=5, s-b=5, s-c=8$ |
| (Ha $C=(0,0), A=(10,0), B=(5,12)$, akkor $I=(5, \frac{10}{3})$) | $B: s-b=5, s-a=5, s-c=8$ | |||||
| $C: s-c=8, s-a=5, s-b=5$ |
Megjegyzés: Az incenter koordinátái csak akkor egyszerűek, ha a háromszög csúcsai speciálisan vannak elhelyezve a koordináta-rendszerben. A megadott képlet általános, de a példákban a könnyebb érthetőség kedvéért konkrét számokat használtunk, ha a csúcsok koordinátái ismertek lennének.
Gyakran ismételt kérdések
Mi a háromszögbe írható kör definíciója?
A háromszögbe írható kör egy olyan kör, amely egy adott háromszög mindhárom oldalát pontosan egy pontban, belülről érinti. Ez a kör mindig létezik és egyedi minden háromszög esetében.
Hogyan szerkeszthető meg a beírható kör?
A beírható kör szerkesztéséhez meg kell határozni a középpontját és a sugarát. A középpont (incenter) a háromszög három belső szögfelezőjének metszéspontja. Miután megtaláltuk ezt a pontot, merőlegest bocsátunk belőle bármelyik oldalra; ennek a merőlegesnek a hossza lesz a kör sugara. Ezután a középpontból ezzel a sugárral megrajzoljuk a kört.
Mi a beírható kör sugara?
A beírható kör sugara, amelyet $r$-rel jelölünk, a háromszög területének ($T$) és félkerületének ($s$) hányadosa: $r = T/s$. Ha csak az oldalhosszúságok ($a, b, c$) ismertek, akkor a sugár Heron-képletből is levezethető: $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$.
Milyen összefüggés van a beírható és a körülírható kör sugara között?
A beírható kör sugara ($r$) és a körülírható kör sugara ($R$) között az Euler-tétel teremt kapcsolatot. Ez a tétel kimondja, hogy az incenter (I) és a körülírható kör középpontja (O) közötti távolság ($OI$) négyzetesen összefügg a két sugárral: $OI^2 = R(R – 2r)$. Ebből következik, hogy mindig igaz az $R \ge 2r$ egyenlőtlenség.
Milyen speciális esetek vannak a beírható körrel kapcsolatban?
Derékszögű háromszög esetén a beírható kör sugara $r = (a+b-c)/2$, ahol $a$ és $b$ a befogók, $c$ pedig az átfogó. Egyenlő oldalú háromszögben a beírható kör sugara $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, és ilyenkor $R = 2r$ is teljesül. Egyenlő szárú háromszög esetén az incenter a szimmetriatengelyen helyezkedik el.
Miért fontos a beírható kör a geometriában?
A beírható kör alapvető fontosságú a geometriai problémák megoldásában, mivel összekapcsolja a háromszög oldalait, szögeit és területét. Segít a háromszög belső szerkezetének megértésében, és számos más nevezetes ponttal és körrel (pl. hozzáírt körök, Feuerbach-kör, Gergonne-pont, Nagel-pont) is szoros összefüggésben áll. Alkalmazási területei közé tartozik például az optimalizálás és a mérnöki tervezés.
