Az, hogy hogyan írhatjuk le matematikailag az egyeneseket, az egyik alapvető kérdés, amivel a geometria és az analitika foglalkozik. Gondolj csak bele, mennyi minden épül erre az egyszerűnek tűnő fogalomra: navigációs rendszerek, grafikonok, mérnöki tervek, sőt, még a videojátékok grafikái is. Egyenesek nélkül a világunk egészen más lenne. Talán pont ezért van az, hogy ennyire érdekli az embereket, hogyan lehet legpontosabban és legérthetőbben megadni ezeknek a vonalaknak a leírását.
Az egyenes az egyik legelemibb geometriai alakzat, amit valójában két pont határoz meg. De hogy ezt matematikai nyelven, pontosan meg tudjuk fogalmazni, ahhoz különböző megközelítések léteznek. A lényeg, hogy ezek a megfogalmazások, azaz az egyenletek, a lehető legrészletesebben írják le az adott egyenes minden egyes pontjának helyét a koordinátarendszerben. Nézzük meg, hogyan is juthatunk el ehhez a célhoz, többféle úton is.
Ebben az írásban nem csak azt nézzük meg, hogyan kell felírni a két ponton keresztül haladó egyenes egyenletét, de megpróbáljuk meg is érteni a mögötte rejlő logikát. Bemutatjuk a különböző formáit, az összefüggéseket és azt, hogyan használhatod ezeket a tudást a gyakorlatban. A célunk, hogy ne csak receptet adjunk, hanem magát a megértést is elősegítsük, így bármikor, bármilyen helyzetben képes leszel ezeket a feladatokat megoldani.
Az egyenes meghatározása pontok alapján
Az euklideszi geometriában egyenes vonalnak nevezzük azt a síkbeli vagy térbeli alakzatot, amelynek minden pontja egyazon a „vonalon” helyezkedik el. A legfontosabb és talán legegyszerűbb megállapítás, hogy két, egymástól különböző pont mindig egy és csakis egy egyenest határoz meg. Ez az alapja annak, hogy matematikai egyenletet tudjunk rendelni egy adott egyeneshez.
Tegyük fel, hogy van két pontunk a koordinátasíkon: $P_1$ és $P_2$. Ezeknek a pontoknak ismerjük a koordinátáit:
$P_1 = (x_1, y_1)$
$P_2 = (x_2, y_2)$
Ebből a két pontból kiindulva szeretnénk felírni azt az egyenletet, amely leírja mindazokat a pontokat, amelyek erre az egyenesre illeszkednek. Ez az egyenlet egyenlőséget fog kifejezni az ismeretlen $x$ és $y$ koordináták között.
Az egyenes irányvektora és normálvektora
Ahhoz, hogy az egyenes egyenletét fel tudjuk írni, érdemes megismerkedni két fontos fogalommal: az irányvektorral és a normálvektorral.
Az irányvektor egy olyan vektor, amely párhuzamos az egyenessel. Ha ismerjük az egyenesen fekvő két pontot, $P_1(x_1, y_1)$ és $P_2(x_2, y_2)$, akkor az általuk meghatározott vektort az egyenes irányvektoraként használhatjuk. Ezt a vektort a két pont különbségeként kapjuk meg:
$$ \vec{v} = P_2 – P_1 = (x_2 – x_1, y_2 – y_1) $$
Az irányvektor komponensei tehát $\Delta x = x_2 – x_1$ és $\Delta y = y_2 – y_1$. Azt is tudnunk kell, hogy az irányvektor nem egyedi. Bármelyik, az egyenessel párhuzamos vektor alkalmas irányvektornak. Például az $(x_2 – x_1, y_2 – y_1)$ vektor skalárszorosai is irányvektorok.
A normálvektor ezzel szemben egy olyan vektor, amely merőleges az egyenesre. Ha ismerjük az egyenes irányvektorát $\vec{v} = (v_x, v_y)$, akkor egy erre merőleges vektort a komponensek felcserélésével és az egyik komponens előjelének megváltoztatásával kaphatunk:
$$ \vec{n} = (-v_y, v_x) \quad \text{vagy} \quad \vec{n} = (v_y, -v_x) $$
Tehát, ha az irányvektor $\vec{v} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)$, akkor egy lehetséges normálvektor $\vec{n} = (-(y_2 – y_1), x_2 – x_1)$, vagy röviden $\vec{n} = (y_1 – y_2, x_2 – x_1)$. A normálvektor is pontosan az irányvektorhoz hasonlóan nem egyedi; bármelyik skalárszorosa is merőleges az egyenesre.
"Az irányvektor megadja az egyenes 'menetirányát', míg a normálvektor a merőlegességét jelöli."
Az egyenes különböző egyenletformái
A két pontból kiindulva többféleképpen is felírhatjuk az egyenes egyenletét. Ezek a formák különböző szempontokból írják le az egyenest, és különböző helyzetekben lehetnek hasznosak.
Helyvektori egyenlet
Ez az egyik legegyszerűbb formális megfogalmazás. Ha ismerjük az egyenes egy $P_0(x_0, y_0)$ pontját (amit $P_1$ is lehet) és egy $\vec{v} = (v_x, v_y)$ irányvektort, akkor az egyenes minden pontja ($P(x, y)$) felírható a következőképpen:
$$ \vec{p} = \vec{p}_0 + t \vec{v} $$
ahol $\vec{p} = (x, y)$ az egyenes egy tetszőleges pontjának helyvektora, $\vec{p}_0 = (x_0, y_0)$ pedig az ismert pont helyvektora, és $t$ egy tetszőleges valós szám (paraméter).
Komponensekre bontva ez így néz ki:
$$ (x, y) = (x_0, y_0) + t (v_x, v_y) $$
$$ \begin{cases} x = x_0 + t v_x \ y = y_0 + t v_y \end{cases} $$
Ez a paraméteres egyenletrendszer. A $t$ paraméter megváltoztatásával bejárhatjuk az egész egyenest. Például, ha $t=0$, akkor $(x,y)=(x_0, y_0)$, ami a kiinduló pont. Ha $t=1$, akkor $(x,y)=(x_0+v_x, y_0+v_y)$, ami a kiinduló pontból az irányvektorral elmozdulva jutunk.
Ha két pont, $P_1(x_1, y_1)$ és $P_2(x_2, y_2)$ van megadva, akkor választhatjuk $P_0$-nak az egyik pontot (pl. $P_1$), és az irányvektornak a $P_1P_2$ vektort:
$\vec{p}_0 = (x_1, y_1)$
$\vec{v} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)$
Ekkor a helyvektori egyenlet:
$$ \vec{p} = (x_1, y_1) + t (x_2 – x_1, y_2 – y_1) $$
Vagy komponensekre lebontva:
$$ \begin{cases} x = x_1 + t (x_2 – x_1) \ y = y_1 + t (y_2 – y_1) \end{cases} $$
Függvényegyenlet (explicit alak)
A paraméteres egyenletrendszerből kiiktathatjuk a $t$ paramétert, hogy megkapjuk az egyenes függvényszerű, explicit alakját, ami a $y = mx+b$ formát ölti. Ezt leginkább akkor tehetjük meg, ha az egyenes nem függőleges (azaz $v_x \neq 0$).
Az $x = x_0 + t v_x$ egyenletből kifejezzük $t$-t:
$t = \frac{x – x_0}{v_x}$
Ezt behelyettesítjük az $y = y_0 + t v_y$ egyenletbe:
$y = y_0 + \frac{x – x_0}{v_x} v_y$
$y = y_0 + \frac{v_y}{v_x} (x – x_0)$
Itt $\frac{v_y}{v_x}$ az irányvektor hányadosa, ami megegyezik az egyenes meredekségével ($m$). Tehát:
$y = y_0 + m (x – x_0)$
$y = mx – mx_0 + y_0$
$y = mx + (y_0 – mx_0)$
Az $m = \frac{v_y}{v_x}$ a meredekség, az $b = y_0 – mx_0$ pedig az ordinatesz (az az y-érték, ahol az egyenes metszi az y-tengelyt, azaz $x=0$ esetén $y=b$).
Ha két pont, $P_1(x_1, y_1)$ és $P_2(x_2, y_2)$ van megadva:
Az irányvektor: $(x_2 – x_1, y_2 – y_1)$.
A meredekség: $m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$. (Ez csak akkor értelmezett, ha $x_1 \neq x_2$, azaz nem függőleges az egyenes.)
Választhatjuk az egyik pontot, mondjuk $P_1(x_1, y_1)$ fix pontnak, így $x_0=x_1$ és $y_0=y_1$. A fenti képletbe behelyettesítve:
$y = m(x – x_1) + y_1$
vagy
$y = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1) + y_1$
Ez az ax+b alak, ahol az $a$ jelenti a meredekséget, a $b$ pedig az ordinátatengely-metszetet.
"A meredekség megmutatja, hogy az egyenes mennyire 'emelkedik' vagy 'süllyed' vízszintes irányban."
Általános alak
Az egyenes legáltalánosabb alakja a következő:
$$ Ax + By + C = 0 $$
ahol $A$, $B$ és $C$ állandók, és nem lehetnek egyszerre nullák ($A^2 + B^2 \neq 0$).
Ebből az alakból az előző egyenletformák könnyen levezethetők:
Ha $B \neq 0$, akkor átrendezve:
$By = -Ax – C$
$y = -\frac{A}{B}x – \frac{C}{B}$
Ez az $y = mx + b$ alak, ahol $m = -\frac{A}{B}$ és $b = -\frac{C}{B}$. Láthatjuk, hogy a meredekség $m$ az $A$ és $B$ arányával függ össze.
Ha $B=0$, akkor az egyenlet $Ax + C = 0$, ami $x = -\frac{C}{A}$ alakot ölti (feltéve, hogy $A \neq 0$). Ez egy függőleges egyenes, amely párhuzamos az y-tengellyel. A meredeksége pedig nem értelmezett.
A normálvektor és az általános alak között is szoros kapcsolat van: az $Ax + By + C = 0$ egyenlet normálvektora $\vec{n} = (A, B)$. Ezt könnyen ellenőrizhetjük azzal, hogy $A v_x + B v_y = A(x_2-x_1) + B(y_2-y_1)$ nem feltétlenül nulla, de az $A$ és $B$ a normálvektorból jön. Ha $\vec{n}=(A,B)$, akkor $\vec{v}=(-B,A)$ vagy $\vec{v}=(B,-A)$ az irányvektor.
Hogyan jutunk el az általános alakhoz két pontból?
Legyenek adottak a pontok $P_1(x_1, y_1)$ és $P_2(x_2, y_2)$.
Az irányvektor $\vec{v} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)$.
Egy normálvektor $\vec{n} = (y_1 – y_2, x_2 – x_1)$.
Legyen $A = y_1 – y_2$ és $B = x_2 – x_1$.
Az egyenes egyik pontja $P_1(x_1, y_1)$. Az általános egyenlet $Ax + By + C = 0$ alakú.
Mivel $P_1$ rajta van az egyenesen, teljesül rá az egyenlet:
$A x_1 + B y_1 + C = 0$
$C = -A x_1 – B y_1$
$C = -(y_1 – y_2)x_1 – (x_2 – x_1)y_1$
$C = -y_1 x_1 + y_2 x_1 – x_2 y_1 + x_1 y_1$
$C = x_1 y_2 – x_2 y_1$
Tehát az általános egyenlet:
$(y_1 – y_2)x + (x_2 – x_1)y + (x_1 y_2 – x_2 y_1) = 0$
Ez az alak akkor is jól használható, ha az egyik pont az origóban van, vagy ha az egyenes függőleges vagy vízszintes.
"Az általános alak minden esetben, még a függőleges egyenesek esetében is, jól definiált módon írja le az egyenest."
Kétpontos alak
Egy speciális eset, amikor az egyenes nem függőleges, és nem is vízszintes, az ún. kétpontos alak. Ezt közvetlenül a meredekség definíciójából kaphatjuk. Ha veszünk egy tetszőleges pontot $P(x, y)$ az egyenesen, akkor a $P_1(x_1, y_1)$ és $P(x, y)$ pontok által meghatározott egyenes meredeksége megegyezik a $P_1(x_1, y_1)$ és $P_2(x_2, y_2)$ pontok által meghatározott egyenes meredekségével:
$$ \frac{y – y_1}{x – x_1} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} $$
Ez az alak akkor használható, ha $x \neq x_1$ és $x_1 \neq x_2$. Átrendezve, ha $x_1 \neq x_2$ és $y_1 \neq y_2$, megkapjuk az $y = m(x – x_1) + y_1$ alakot, ami már az előbb bemutatott ax+b alak.
Ha $x_1 = x_2$, akkor az egyenes függőleges, és az egyenlete $x = x_1$.
Ha $y_1 = y_2$, akkor az egyenes vízszintes, és az egyenlete $y = y_1$.
A táblázat összefoglalja a legfontosabb egyenletformákat és azok jellemzőit:
| Egyenletforma | Alak | Jellemzők | Felhasználhatóság |
|---|---|---|---|
| Helyvektori (paraméteres) | $(x, y) = (x_0, y_0) + t (v_x, v_y)$ | $P_0$: ismert pont, $\vec{v}$: irányvektor, $t$: paraméter | Térbeli és síkbeli egyenesek leírására, mozgások leírására |
| Függvényegyenlet (explicit) | $y = mx + b$ | $m$: meredekség, $b$: ordinátatengely-metszet | Síkbeli nem függőleges egyenesekre, függvényként értelmezve |
| Általános alak | $Ax + By + C = 0$ | $A, B, C$: állandók, $\vec{n}=(A, B)$: normálvektor | Minden síkbeli egyenesre, különösen függőleges és vízszintes egyenesekre |
| Kétpontos alak | $\frac{y – y_1}{x – x_1} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$ | Két pont $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ használata | Könnyen felírható, ha két pont van, nem függőleges egyenesre |
"A különböző egyenletformák ugyanazt az egyenest írják le, csak más nézőpontból és más kiinduló adatokkal."
Példák két ponton keresztül haladó egyenes egyenletének felírására
Nézzünk meg néhány konkrét példát, hogyan is írhatjuk fel a két ponton keresztül haladó egyenesek egyenleteit a különböző alakokban.
1. példa: Általános esetben
Adott két pont: $P_1 = (2, 3)$ és $P_2 = (5, 7)$.
a) Meredekség és függvényegyenlet:
Először kiszámoljuk a meredekséget:
$$ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} $$
Most használjuk a $y = m(x – x_1) + y_1$ képletet, mondjuk $P_1$ pontot használva:
$y = \frac{4}{3}(x – 2) + 3$
$y = \frac{4}{3}x – \frac{8}{3} + 3$
$y = \frac{4}{3}x – \frac{8}{3} + \frac{9}{3}$
$$ y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} $$
Ez az $y=mx+b$ alak, ahol $m = \frac{4}{3}$ és $b = \frac{1}{3}$.
b) Általános alak:
Átalakítjuk a $y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$ egyenletet:
$3y = 4x + 1$
$0 = 4x – 3y + 1$
$$ 4x – 3y + 1 = 0 $$
Itt $A=4$, $B=-3$, $C=1$. A normálvektor $\vec{n} = (4, -3)$.
c) Helyvektori (paraméteres) egyenlet:
Az irányvektor $\vec{v} = P_2 – P_1 = (5-2, 7-3) = (3, 4)$.
A $P_1=(2,3)$ pontot használva kiinduló pontnak ($\vec{p}_0 = (2,3)$):
$$ (x, y) = (2, 3) + t (3, 4) $$
Komponensenként:
$$ \begin{cases} x = 2 + 3t \ y = 3 + 4t \end{cases} $$
2. példa: Függőleges egyenes
Adott két pont: $P_1 = (4, 2)$ és $P_2 = (4, 6)$.
Mivel az x-koordináták megegyeznek, az egyenes függőleges.
a) Meredekség és függvényegyenlet:
Itt $x_1 = x_2 = 4$, tehát a meredekség $\frac{6-2}{4-4} = \frac{4}{0}$, ami nincs értelmezve. Függőleges egyenes nem írható fel $y=mx+b$ alakban.
b) Általános alak:
A függőleges egyenesek egyenlete mindig $x = \text{állandó}$. Mivel az x-koordináták mindkettő 4, az egyenesen minden pont x-koordinátája 4.
$$ x = 4 $$
Átrendezve az általános alakra:
$$ 1x + 0y – 4 = 0 $$
Tehát $A=1$, $B=0$, $C=-4$. A normálvektor $\vec{n} = (1, 0)$, ami valóban merőleges egy függőleges egyenesre.
c) Helyvektori (paraméteres) egyenlet:
Az irányvektor $\vec{v} = P_2 – P_1 = (4-4, 6-2) = (0, 4)$.
A $P_1=(4,2)$ pontot használva kiinduló pontnak:
$$ (x, y) = (4, 2) + t (0, 4) $$
Komponensenként:
$$ \begin{cases} x = 4 + 0t = 4 \ y = 2 + 4t \end{cases} $$
Látható, hogy az x mindig 4, míg az y változik $t$ értékétől függően.
3. példa: Vízszintes egyenes
Adott két pont: $P_1 = (1, 5)$ és $P_2 = (7, 5)$.
Mivel az y-koordináták megegyeznek, az egyenes vízszintes.
a) Meredekség és függvényegyenlet:
$$ m = \frac{5 – 5}{7 – 1} = \frac{0}{6} = 0 $$
A meredekség nulla. Használjuk a $y = m(x – x_1) + y_1$ képletet $P_1$ ponttal:
$y = 0(x – 1) + 5$
$$ y = 5 $$
Ez az $y=mx+b$ alak, ahol $m=0$ és $b=5$.
b) Általános alak:
Átrendezzük az $y=5$ egyenletet:
$$ 0x + 1y – 5 = 0 $$
Tehát $A=0$, $B=1$, $C=-5$. A normálvektor $\vec{n} = (0, 1)$, ami egy vízszintes egyenesre merőleges vektor.
c) Helyvektori (paraméteres) egyenlet:
Az irányvektor $\vec{v} = P_2 – P_1 = (7-1, 5-5) = (6, 0)$.
A $P_1=(1,5)$ pontot használva kiinduló pontnak:
$$ (x, y) = (1, 5) + t (6, 0) $$
Komponensenként:
$$ \begin{cases} x = 1 + 6t \ y = 5 + 0t = 5 \end{cases} $$
Látható, hogy az y mindig 5, míg az x változik $t$ értékétől függően.
A következő táblázat összefoglalja a két pontból származó irányvektorok és a belőlük kapott egyenesek típusát:
| $P_1 = (x_1, y_1)$ | $P_2 = (x_2, y_2)$ | Irányvektor $\vec{v} = (v_x, v_y)$ | $v_x \neq 0, v_y \neq 0$ | $v_x = 0, v_y \neq 0$ | $v_x \neq 0, v_y = 0$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $(2, 3)$ | $(5, 7)$ | $(3, 4)$ | Ferde (sem ferde, sem vízszintes) | – | – |
| $(4, 2)$ | $(4, 6)$ | $(0, 4)$ | – | Függőleges | – |
| $(1, 5)$ | $(7, 5)$ | $(6, 0)$ | – | – | Vízszintes |
"Az egyenes egyenletének kiválasztott alakja nagyban függ attól, hogy milyen típusú problémát próbálunk megoldani, vagy milyen jellegű adatokat ismerünk."
Fontos megjegyzések és gyakorlati alkalmazások
Az egyenesek egyenleteivel való munka során érdemes néhány fontos dologra odafigyelni, és tudatosítani, hogy ez a tudás nem csak elméleti.
- Egyértelműség: Két különböző pont mindig egy és csakis egy egyenest határoz meg. Ez az alapvető axióma biztosítja, hogy feladataink megoldhatóak legyenek.
- Különböző formák, ugyanaz az egyenes: Mint láttuk, az egyenes leírható többféleképpen is. Fontos tudni, hogyan lehet egyik formából a másikba átalakítani az egyenletet, hiszen a feladat megfogalmazása gyakran megköveteli, hogy adott alakban adjuk meg a végeredményt.
- Számítógépes grafika: A számítógépes grafikában az egyenesek és görbék leírása alapvető. Bonyolultabb objektumok, mint például háromszögek vagy síkidomok, sok esetben egyenes szakaszokkal írhatók le. Az egyenes egyenlete segítségével könnyen meghatározható, hogy két objektum metsz-e egymást, vagy hogy egy pont egy adott területen belül helyezkedik-e el.
- Navigáció: Bár a GPS rendszerek komplexebbek, az alapvető elvek, mint például két pont közötti távolság vagy irány meghatározása, az egyenesek geometriáján alapulnak. Az egyenes egyenlete segítségével meghatározható egy adott útvonal, vagy az hogy egy jármű merre halad.
- ** Mérnöki alkalmazások:** Az építészetben, géptervezésben, poligon modellezésben az egyenesek és síkok egyenletei nélkülözhetetlenek a tervek kidolgozásához, ellenőrzéséhez és kivitelezéséhez. Például egy híd vagy egy épület statikai elemzése során az egyenesek leírhatják az acélszerkezet elemeit.
"A matematikában az egyenes egyenlete nem csak egy absztrakt képlet; ez egy erőteljes eszköz, amely lehetővé teszi a térbeli viszonyok pontos leírását és elemzését, számos gyakorlati területen."
Gyakran ismételt kérdések az egyenes egyenletével kapcsolatban
Ha meg van adva két pont, hogyan tudom eldönteni, melyik egyenletformát használjam?
A választás attól függ, hogy milyen feladatot kell megoldani, és milyen információk állnak rendelkezésre.
- Ha a feladat az, hogy megadjunk egy paraméteres leírást az egyenesről, akkor a helyvektori egyenlet a legmegfelelőbb.
- Ha az egyenes viselkedését függvényként akarjuk vizsgálni (pl. növekvő-e, milyen gyorsan változik), akkor az explicit alak ($y=mx+b$) a legcélszerűbb, feltéve, hogy az egyenes nem függőleges.
- Ha általános problémát szeretnénk megoldani, vagy függőleges/vízszintes egyenesekkel dolgozunk, az általános alak ($Ax+By+C=0$) a legbiztosabb választás.
- Ha két konkrét pont van megadva, és szeretnénk azokat közvetlenül felhasználni, a kétpontos alak jó kiindulópont lehet.
Mit jelent, ha az egyenes egyenletében az A vagy B együttható nulla az általános alakban?
- Ha $A=0$ és $B \neq 0$ az $Ax+By+C=0$ egyenletben, akkor az egyenes egyenlete $By+C=0$, ami átrendezve $y = -\frac{C}{B}$. Ez egy vízszintes egyenes, amely párhuzamos az x-tengellyel. A meredeksége 0.
- Ha $B=0$ és $A \neq 0$ az $Ax+By+C=0$ egyenletben, akkor az egyenes egyenlete $Ax+C=0$, ami átrendezve $x = -\frac{C}{A}$. Ez egy függőleges egyenes, amely párhuzamos az y-tengellyel. A meredeksége nem értelmezett.
- Ha $A=0$ és $B=0$ is, akkor ez nem egyenes egyenlete, sőt, nem is egy meghatározott alak. Ha $C$ is nulla, akkor $0=0$, ami minden pontra igaz. Ha $C \neq 0$, akkor $C=0$, ami nem lehetséges, így nincs megoldó pontja.
Hogyan írhatom fel az egyenes egyenletét, ha csak egy pontot és az irányvektorát ismerem?
Ebben az esetben a helyvektori (paraméteres) egyenletet használhatod kiindulásként:
$$ (x, y) = (x_0, y_0) + t (v_x, v_y) $$
ahol $(x_0, y_0)$ az ismert pont koordinátái, és $(v_x, v_y)$ az ismert irányvektor komponensei. Ebből a paraméteres egyenletrendszerből (és az $x_1 \neq x_2$ feltétel esetén) könnyen felírható az explicit ($y=mx+b$) vagy az általános ($Ax+By+C=0$) alak is. Például a meredekség $m = \frac{v_y}{v_x}$, ha $v_x \neq 0$.
Mi a különbség az irányvektor és a normálvektor között?
Az irányvektor egy olyan vektor, amely párhuzamos az egyenessel. Megadja az egyenes "haladási irányát". Bármely, az egyenessel párhuzamos vektor jó irányvektornak.
A normálvektor egy olyan vektor, amely merőleges az egyenesre. Fontos szerepet játszik az általános alak ($Ax+By+C=0$) felírásában, ahol a normálvektor komponensei megegyeznek az $x$ és $y$ változók együtthatóival ($A$ és $B$). Ha ismerjük az egyiket, a másikat viszonylag egyszerűen meghatározhatjuk.
