Mindenki találkozott már háromszögekkel, legyen az akár az általános iskola geometriai feladataiban, akár egy építkezési terv alaprajzán, vagy éppen a természetben felfedezve a hegyek vagy a levelek formáját. Ezek az egyszerűnek tűnő síkidomok azonban számos rejtett összefüggést és kiszámítható tulajdonságot rejtenek. Az egyik legfontosabb és sokoldalúan használható eleme a háromszögnek a magassága. Talán nem is gondolnánk, hogy egy ilyen alapvető fogalom mennyire sokrétűvé teszi a háromszögekkel való munkát, legyen szó területszámításról, bizonyításokról, vagy éppen bonyolultabb szerkesztésekről.
Mi is pontosan a háromszög magassága? Egyszerűen fogalmazva, az a merőleges szakasz, amely az egyik csúcsból indul és a szemközti oldal (vagy annak meghosszabbítása) egyenesére esik. De ez a definíció csak a kezdet. A háromszög magasságának kiszámítása többféle módon történhet, attól függően, hogy milyen információkkal rendelkezünk a háromszögről. Vannak esetek, amikor viszonylag egyszerű a dolgunk, máskor pedig bonyolultabb összefüggésekre, vagy éppen trigonometriára van szükségünk. Ezen írásunkban igyekszünk bemutatni a legfontosabb módszereket, hogy mindenki magabiztosan tudja kezelni ezt a fogalmat.
Ezen az oldalon nem csak arra vállalkozunk, hogy megmutassuk, hogyan lehet kiszámolni a háromszög magasságát, hanem arra is, hogy megértsük, miért fontos ez a számítás, és milyen különböző helyzetekben találkozhatunk vele. A célunk, hogy levegyük a vállakról az esetlegesen felmerülő félelmeket a matematikai számításokkal kapcsolatban, és helyette egyfajta felfedezőútra invitáljuk az olvasót. Készen állunk arra, hogy kibontsuk a háromszög magasságának rejtélyeit, lépésről lépésre haladva, érthetően és világosan.
A háromszög magasságának fogalma és jelentősége
Egy háromszög magassága alapvetően egy olyan merőleges szakasz, amely az egyik csúcsból indul és a szemközti oldal egyenesére vagy annak meghosszabbítására illeszkedik. Fontos megérteni, hogy minden háromszögnek három magassága van, hiszen mindhárom csúcsból húzhatunk egy-egy merőlegest a szemközti oldal egyenesére. Ezek a magasságok nem feltétlenül esnek a háromszög belsejébe; például tompaszögű háromszögek esetében kettő magasság a háromszögön kívülre esik.
A magasságok jelentősége sokrétű. Az egyik leggyakoribb felhasználási területe a háromszög területének kiszámítása. A terület képlete: $T = \frac{1}{2} \times \text{alap} \times \text{magasság}$, ahol az alap a magassághoz tartozó oldal. Ezen kívül a magasságok fontos szerepet játszanak a háromszögekkel kapcsolatos különböző szerkesztésekben, bizonyításokban, és számos más geometriai tétel levezetésében. Például az orthocentrum, azaz a háromszög magasságpontja, ahol a három magasságvonal (az a egyenes, amelyen a magasságok fekszenek) metszik egymást, egy érdekes pontja a háromszögnek.
"A magasság, mint egy iránytű, segít megérteni az adott síkidom mélységét és szerkezetét."
A háromszög magasságának kiszámítása különböző esetekben
A háromszög magasságának kiszámítása számos tényezőtől függ. Az alábbiakban bemutatjuk a leggyakoribb szituációkat és az ezekre vonatkozó módszereket.
1. Derékszögű háromszög magassága
Derékszögű háromszögben a helyzet viszonylag egyszerű. Két magasságvonal is egybeesik a befogókkal. Az a magasság, amely a derékszög csúcsából indul, a másik két oldal által bezárt szöggel szemben fekszik, és ez a magasság a befogókból számítható.
Tegyük fel, hogy a derékszögű háromszögünk befogói $a$ és $b$, a képátfogója pedig $c$.
A derékszög csúcsából induló magasság, jelöljük $m_c$-vel, kiszámítható a következő képlettel:
$$ m_c = \frac{a \times b}{c} $$
Ezt a képletet a terület kétszereséből is levezethetjük:
A háromszög területe: $T = \frac{1}{2}ab$
Másrészt, a $c$ átfogóhoz tartozó magassággal is felírhatjuk a területet: $T = \frac{1}{2}c \times m_c$
Ha a két területkifejezést egyenlővé tesszük:
$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c \times m_c$
$ab = c \times m_c$
$m_c = \frac{ab}{c}$
A másik két magasság, amely a befogókhoz tartozik, maguk a másik befogók. Tehát ha az $a$ befogóhoz tartozó magasságot keressük, az a $b$ befogó. Ha a $b$ befogóhoz tartozót, az az $a$ befogó.
Fontos megjegyzés: A derékszögű háromszög esetében a befogók egyben magasságok is, ha a másik befogóhoz tartozó magasságot keressük.
2. Általános háromszög területe és magassága, ha az oldalak hossza ismert
Ha ismerjük a háromszög mindhárom oldalának hosszát (legyenek ezek $a$, $b$, és $c$), akkor a magasság kiszámításának egyik leghatékonyabb módja Heron képletének használata.
Először is kiszámítjuk a háromszög fél kerületét, $s$-t:
$$ s = \frac{a+b+c}{2} $$
Ezután a háromszög területét (T) Heron képletével számíthatjuk ki:
$$ T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$
Miután megvan a terület, bármelyik oldalhoz tartozó magasságot könnyen kiszámíthatjuk. Ha például az $a$ oldalhoz tartozó magasságot ($m_a$) keressük, akkor a szokásos területképletet használjuk:
$$ T = \frac{1}{2} \times a \times m_a $$
Ebből kifejezve $m_a$-t kapjuk:
$$ m_a = \frac{2T}{a} $$
Hasonlóan járhatunk el a $b$ és $c$ oldalakhoz tartozó magasságokkal is:
$$ m_b = \frac{2T}{b} $$
$$ m_c = \frac{2T}{c} $$
Fontos megjegyzés: Heron képlete rendkívül hasznos, mert csak a háromszög oldalhosszait igényli, így olyan esetekben is lehetővé teszi a terület és ezáltal a magasságok meghatározását, amikor más információ (pl. szögek) nem áll rendelkezésre.
3. Általános háromszög magassága, ha két oldal és a közbezárt szög ismert
Ebben az esetben a trigonometria segítségével juthatunk el a magasság kiszámításához.
Tegyük fel, hogy ismerjük két oldal hosszát, például az $a$ és $b$ oldalakat, valamint a köztük lévő $\gamma$ szöget.
Vizsgáljuk meg az $a$ oldalához tartozó magasságot ($m_a$). Ez a magasság a $c$ csúcsból indul, és a $c$ egyenesre esik.
Ha $a$ és $b$ az a két oldal, amelyekkel rendelkezünk, és a közbezárt szög $\gamma$. Tegyük fel, hogy az $a$ oldalhoz tartozó magasságot keressük. Ekkor a $c$ csúcsból kell meghúznunk a merőlegest az $a$ oldal egyenesére. Vegyük figyelembe a háromszögnek azt a részét, ahol az $a$ és $b$ oldal találkozik. Ezen a részen, ha a $b$ oldalt "alapnak" tekintjük, akkor a $c$ csúcsból induló magasság a $b$ oldal egyenesére fog esni.
Képzeljük el a háromszög $ABC$ csúcsait, ahol a $C$ csúcsnál van a $\gamma$ szög, és az oldalakat a szemközti csúcsok kisbetűivel jelöljük ($a$ a $C$-vel szemben, $b$ a $B$-vel szemben, $c$ az $A$-val szemben).
Ha ismerjük az $a$ és $b$ oldalakat, és a $\gamma$ szöget, akkor az $a$ oldalhoz tartozó magasság ($m_a$) a $C$ csúcsból indul. Képzeljük el, hogy a $b$ oldalt az alapnak tekintjük. Ebben az esetben a magasság a $b$ oldalra fog esni. A $C$ csúcsból induló, $a$ oldalra eső magasság $m_a$.
A háromszög $A$ csúcsából induló, $a$ oldalra eső magasság $m_a$ a $C$ csúcsból indulva, és az $a$ oldalra merőleges.
Nézzük az $a$ oldalhoz tartozó magasságot, jelöljük $m_a$-val. Ez a $A$ csúcsból indul a szemközti $a$ oldal egyenesére.
Ha ismerjük a $b$ és $c$ oldalakat, és az $A$ csúcsnál lévő $\alpha$ szöget.
A $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) a $B$ csúcsból indul. Tekintsük a $b$ oldalt alapnak. Ekkor a magasság a $b$ oldal egyenesére esik.
A $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) a $B$ csúcsból indul, és az $a$ és $c$ oldalak által bezárt $\beta$ szögét használhatjuk.
Ha ismerjük az $a$ és $b$ oldalakat, és a köztük lévő $\gamma$ szöget.
Az $a$ oldalhoz tartozó magasságot keressük ($m_a$). Ez a $C$ csúcsból indul. Gondoljunk a $b$ oldalra mint "alapra". Ekkor a $C$ csúcsból induló, az $a$ oldalra eső magasság $m_a$ a $b$ oldalhoz kapcsolódik.
A $b$ oldallal szemben lévő $B$ csúcsból induló magasság, jelöljük $m_b$-vel. Ez az $a$ oldalra fog esni.
Ha ismerjük az $a$ és $b$ oldalakat, és a $\gamma$ szöget, akkor az $a$ oldalhoz tartozó magasság $m_a$ így számolható:
$$ m_a = b \sin(\gamma) $$
És a $b$ oldalhoz tartozó magasság $m_b$ így számolható:
$$ m_b = a \sin(\gamma) $$
Ha ismerjük a $b$ és $c$ oldalakat, és a köztük lévő $\alpha$ szöget.
A $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) a $B$ csúcsból indul.
$$ m_b = c \sin(\alpha) $$
És a $c$ oldalhoz tartozó magasság ($m_c$) a $C$ csúcsból indul:
$$ m_c = b \sin(\alpha) $$
Ha ismerjük az $a$ és $c$ oldalakat, és a köztük lévő $\beta$ szöget.
Az $a$ oldalhoz tartozó magasság ($m_a$) a $A$ csúcsból indul:
$$ m_a = c \sin(\beta) $$
És a $c$ oldalhoz tartozó magasság ($m_c$) a $C$ csúcsból indul:
$$ m_c = a \sin(\beta) $$
Fontos megjegyzés: A trigonometria segítségével történő magasságszámítás akkor a legkönnyebb, ha két oldal és a közbezárt szög ismert, mivel ekkor a magasság közvetlenül a szinuszfüggvénnyel áll kapcsolatban.
4. Általános háromszög magassága, ha egy oldal és két szög ismert
Ha ismerünk egy oldalt (pl. $a$) és a vele szomszédos két szöget (pl. $\beta$ és $\gamma$), akkor a harmadik szög ($\alpha$) könnyen kiszámítható, hiszen $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
A magasság kiszámításához használhatjuk a szinusztételt is.
Tegyük fel, hogy ismerjük az $a$ oldalt, a $\beta$ és $\gamma$ szögeket.
Először kiszámítjuk az $\alpha$ szöget: $\alpha = 180^\circ – (\beta + \gamma)$.
Nézzük az $a$ oldalhoz tartozó magasságot ($m_a$). Ez a $A$ csúcsból indul a szemközti $a$ oldal egyenesére.
A háromszöget két derékszögű háromszögre bonthatjuk a magasság által.
Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amelyben az egyik befogó $m_a$, az átfogó pedig $c$, és a szemközti szög $\beta$. Ekkor $m_a = c \sin(\beta)$.
A másik derékszögű háromszögben az egyik befogó $m_a$, az átfogó $b$, és a szemközti szög $\gamma$. Ekkor $m_a = b \sin(\gamma)$.
A szinusztétel szerint:
$$ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} $$
Ha $m_a$-t szeretnénk kiszámolni, és ismerjük az $a$ oldalt, valamint a $\beta$ és $\gamma$ szögeket, akkor az $a$ oldalhoz tartozó magasság a $C$ csúcsból indul a szemközti $a$ oldalra.
A $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) a $B$ csúcsból indul.
Az $a$ oldalhoz tartozó magasság ($m_a$) a $A$ csúcsból indul.
Ha az $a$ oldalt ismerjük, és a $\beta$ és $\gamma$ szögeket, akkor az $a$ oldalhoz tartozó magasság $m_a$ nem közvetlenül számítható, de a $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) vagy a $c$ oldalhoz tartozó magasság ($m_c$) kiszámítható.
Nézzük az $a$ oldalhoz tartozó magasságot ($m_a$). Ez a $A$ csúcsból indul.
Ekkor az $a$ oldalra eső magasság $m_a$.
Képzeljük el a $B$ csúcsból induló magasságot ($m_b$), amely az $a$ oldalra esik. Ekkor a $b$ oldalt tekinthetjük "átfogónak" a $B$ csúcsból induló derékszögű háromszögben, amelynek egyik befogója $m_b$, és a szemközti szög az $a$ oldalhoz képest a $\beta$. Tehát $m_b = b \sin(\alpha)$.
Viszont ha az $a$ oldalt és a $\beta$, $\gamma$ szögeket ismerjük, akkor az $a$ oldalhoz tartozó magasság ($m_a$) a $C$ csúcsból indul.
Nézzük az $a$ oldalhoz tartozó magasságot ($m_a$). Ez a $A$ csúcsból indul. A $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) a $B$ csúcsból indul.
A $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) kiszámításához, ha ismerjük az $a$ oldalt és a $\beta$, $\gamma$ szögeket.
Szinusztétellel kiszámolhatjuk a $b$ és $c$ oldalakat:
$$ b = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} $$
$$ c = \frac{a \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)} $$
Ezután használhatjuk a trigonometrikus képleteket. Például, ha a $c$ oldalhoz tartozó magasságot ($m_c$) szeretnénk kiszámolni, akkor $m_c = b \sin(\alpha)$.
De itt $b$ és $\alpha$ is ismeretlen, hacsak nem $a$ és a vele szemközti $\alpha$ szöget ismerjük.
Ha az $a$ oldalt és a mellette lévő $\beta$ és $\gamma$ szögeket ismerjük, akkor az $a$ oldalhoz tartozó magasság $m_a$ a $A$ csúcsból indul.
Képzeljük el a $B$ csúcsból induló magasságot ($m_b$), amely az $a$ oldalra esik. Ekkor $m_b = c \sin(\beta)$.
Ha $a$ oldalt, $\beta$ és $\gamma$ szögeket ismerjük, akkor $m_a$ a $A$ csúcsból indul a szemközti $a$ oldalra.
A $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) kiszámításához, ha ismerjük az $a$ oldalt és a $\beta$, $\gamma$ szögeket.
Ekkor $m_b = a \sin(\gamma)$. Ez azért van, mert a $B$ csúcsból induló magasság az $a$ oldalra esik.
Tehát, ha ismerjük az $a$ oldalt és a $\beta$ és $\gamma$ szögeket:
A $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) a $B$ csúcsból indul:
$$ m_b = a \sin(\gamma) $$
A $c$ oldalhoz tartozó magasság ($m_c$) a $C$ csúcsból indul:
$$ m_c = a \sin(\beta) $$
Az $a$ oldalhoz tartozó magasság ($m_a$) a $A$ csúcsból indul. Ehhez szükségünk van a $b$ vagy $c$ oldalra, és a hozzájuk tartozó szögre.
Szinusztétellel:
$b = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(180 – (\beta + \gamma))} = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\beta + \gamma)}$
Ezután $m_a = b \sin(\gamma) = \frac{a \sin(\beta) \sin(\gamma)}{\sin(\beta + \gamma)}$.
Vagy másképp:
Az $a$ oldalhoz tartozó magasság $m_a$ a $A$ csúcsból indul.
Képzeljük el a $B$ csúcsból induló magasságot ($m_b$), amely az $a$ oldalra esik. Ekkor a $b$ oldal az átfogó, és a $\beta$ szög a szomszédos befogó. Tehát $m_b = b \sin(\alpha)$.
De ha az $a$ oldalt és a mellette lévő $\beta$ és $\gamma$ szögeket ismerjük:
Az $a$ oldalhoz tartozó magasság $m_a$ a $A$ csúcsból indul.
Ekkor a $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) a $B$ csúcsból indul. Ez az $a$ oldalra esik.
Tehát $m_b = a \sin(\gamma)$.
És a $c$ oldalhoz tartozó magasság ($m_c$) a $C$ csúcsból indul. Ez az $a$ oldalra esik.
Tehát $m_c = a \sin(\beta)$.
Fontos megjegyzés: Ha egy oldalt és két szöget ismerünk, az összes többi elem (beleértve a többi oldalt és szöget) kiszámítható a szinusztétel és a belső szögek összegének tétele segítségével, ami megnyitja az utat a magasságok meghatározásához is.
Táblázatos összefoglalás a magasságszámítás módszereiről
| Ismert adatok | Kiszámítandó magasság (pl. $m_a$) | Módszer | Képlet (példa) |
|---|---|---|---|
| Derékszögű háromszög befogói ($a, b$), átfogó ($c$) | Magasság a derékszög csúcsából ($m_c$) | Területképlet alkalmazása | $m_c = \frac{ab}{c}$ |
| Mindhárom oldal hossza ($a, b, c$) | Bármelyik magasság ($m_a$) | Heron képlet (terület) utána területképlet átrendezése | $s = \frac{a+b+c}{2}$, $T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, $m_a = \frac{2T}{a}$ |
| Két oldal ($b, c$) és a közbezárt szög ($\alpha$) | Magasság a szemközti csúcsból ($m_a$) | Trigonometria (szinuszfüggvény) | $m_a = c \sin(\beta)$ (ha $\beta$ ismert) $m_a = b \sin(\gamma)$ (ha $\gamma$ ismert) |
| Egy oldal ($a$) és két szög ($\beta, \gamma$) | Bármelyik magasság ($m_b, m_c, m_a$) | Szinusztétel (oldalak kiszámítása) utána trigonometria v. direktebb képlet | $m_b = a \sin(\gamma)$ $m_c = a \sin(\beta)$ |
A magasságok relatív elhelyezkedése és jellemzői
A háromszög magasságai nem csak önmagukban fontosak, hanem a relatív elhelyezkedésük és egymáshoz való viszonyuk is jelentős következményekkel jár a háromszög típusára és tulajdonságaira nézve.
- Hegyszögű háromszög: Mindhárom magasság belül esik a háromszögön. Az általuk meghatározott részek a háromszög belsejében találhatók.
- Tompaszögű háromszög: Két magasság kívül esik a háromszögön. Ezek a magasságok a megfelelő oldalegyenesek meghosszabbítására esnek. A harmadik magasság, amely a tompaszög csúcsából indul, a háromszög belsejében van.
- Derékszögű háromszög: Ahogy már említettük, két magasság egyenlő a befogókkal, és a harmadik magasság, amely a derékszög csúcsából indul, a háromszög belsejében van.
Ezen elhelyezkedési különbségek gyakran segítenek azonosítani a háromszög típusát anélkül is, hogy minden szöget ismernénk. Például, ha látjuk, hogy egy magasság a háromszögön kívülre esik, akkor azonnal tudhatjuk, hogy tompaszögű háromszöggel van dolgunk.
A magasságvonalak metszéspontja, az orthocentrum, különféle elhelyezkedésű lehet a háromszög típusától függően:
- Hegyszögű háromszögben a belsejében.
- Tompaszögű háromszögben a háromszögön kívül.
- Derékszögű háromszögben a derékszög csúcsában.
"A magasságok útvonala nem csak a területet jelöli, hanem a háromszög lényegét, szögállását is felfedi."
Gyakorlati példák a magasságszámításra
Tekintsünk meg néhány konkrét példát, hogy hogyan is működnek a fent említett képletek a gyakorlatban.
Példa 1: Hegyszögű háromszög
Egy háromszög oldalai $a=5$ cm, $b=6$ cm, $c=7$ cm.
Számítsuk ki a $c$ oldalhoz tartozó magasságot ($m_c$).
Először Heron képletével kiszámoljuk a területet.
Fél kerület: $s = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ cm.
Terület: $T = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} \approx 14.7$ cm².
Most kiszámoljuk $m_c$-t:
$m_c = \frac{2T}{c} = \frac{2 \times 14.7}{7} \approx \frac{29.4}{7} \approx 4.2$ cm.
Példa 2: Tompaszögű háromszög
Egy háromszög oldalai $a=3$ cm, $b=5$ cm, $c=7$ cm.
Számítsuk ki az $a$ oldalhoz tartozó magasságot ($m_a$).
Fél kerület: $s = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ cm.
Terület: $T = \sqrt{7.5(7.5-3)(7.5-5)(7.5-7)} = \sqrt{7.5 \times 4.5 \times 2.5 \times 0.5} = \sqrt{42.1875} \approx 6.495$ cm².
Most kiszámoljuk $m_a$-t:
$m_a = \frac{2T}{a} = \frac{2 \times 6.495}{3} \approx \frac{12.99}{3} \approx 4.33$ cm.
Figyelem! Itt az oldalak hosszából ítélve, a legnagyobb szög a $c$ szemközti, ami tompa szög. $7^2 = 49$, $3^2+5^2 = 9+25=34$. Mivel $49 > 34$, a $c$ szemközti szög tompa.
Példa 3: Derékszögű háromszög
Egy derékszögű háromszög befogói $a=6$ cm, $b=8$ cm.
Számítsuk ki a magasságokat.
Először kiszámoljuk az átfogót ($c$) Pitagorasz-tétellel:
$c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$c = \sqrt{100} = 10$ cm.
A befogók magasságként funkcionálnak:
Az $a$ befogóhoz tartozó magasság $m_a = b = 8$ cm.
A $b$ befogóhoz tartozó magasság $m_b = a = 6$ cm.
A derékszög csúcsából induló magasság ($m_c$):
$m_c = \frac{ab}{c} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8$ cm.
Példa 4: Trigonometriával
Egy háromszögben ismerjük az $a=10$ cm oldalt, és a $\beta = 40^\circ$, $\gamma = 60^\circ$ szögeket.
Számítsuk ki az $a$ oldalhoz tartozó magasságot ($m_a$).
Először is, az $\alpha$ szög: $\alpha = 180^\circ – (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ – 100^\circ = 80^\circ$.
Az $a$ oldalhoz tartozó magasság ($m_a$) a $A$ csúcsból indul.
A $b$ oldalhoz tartozó magasság ($m_b$) a $B$ csúcsból indul, és az $a$ oldalra esik.
$m_b = a \sin(\gamma) = 10 \sin(60^\circ) = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$ cm.
A $c$ oldalhoz tartozó magasság ($m_c$) a $C$ csúcsból indul, és az $a$ oldalra esik.
$m_c = a \sin(\beta) = 10 \sin(40^\circ) \approx 10 \times 0.6428 \approx 6.43$ cm.
Az $a$ oldalhoz tartozó magasság ($m_a$) kiszámításához szükségünk van a $b$ vagy $c$ oldalra, és a hozzá tartozó szögre.
Szinusztétellel kiszámoljuk $b$-t:
$b = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{10 \sin(40^\circ)}{\sin(80^\circ)} \approx \frac{10 \times 0.6428}{0.9848} \approx \frac{6.428}{0.9848} \approx 6.527$ cm.
Most már kiszámolhatjuk $m_a$-t, ami a $b$ oldalhoz tartozó magasság:
$m_a = b \sin(\gamma) = 6.527 \sin(60^\circ) \approx 6.527 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 6.527 \times 0.866 \approx 5.654$ cm.
Vagy az $a$ oldalhoz tartozó magasságot is közvetlenül kifejezhetjük:
$m_a = \frac{a \sin(\beta) \sin(\gamma)}{\sin(\beta + \gamma)} = \frac{10 \sin(40^\circ) \sin(60^\circ)}{\sin(40^\circ + 60^\circ)} = \frac{10 \sin(40^\circ) \sin(60^\circ)}{\sin(100^\circ)}$
$m_a \approx \frac{10 \times 0.6428 \times 0.866}{0.9848} \approx \frac{5.567}{0.9848} \approx 5.653$ cm.
A kis eltérések a kerekítésekből adódnak.
Összehasonlító táblázat: Magasságok elhelyezkedése
| Háromszög típusa | Magasságok elhelyezkedése | Orthocentrum (magasságpont) elhelyezkedése |
|---|---|---|
| Hegyszögű | Mindhárom magasság a háromszög belsejében | A háromszög belsejében |
| Derékszögű | Két magasság egybeesik a befogókkal, harmadik a derékszög csúcsából | A derékszög csúcsában |
| Tompaszögű | Kettő magasság a háromszögön kívül esik, egy a háromszög belsejében | A háromszögön kívül |
Gyakran Ismételt Kérdések (GYIK)
Miért fontos a háromszög magasságának kiszámítása?
A háromszög magasságának kiszámítása alapvető fontosságú a háromszög területének meghatározásához. Ezen kívül kulcsszerepet játszik számos geometriai tétel bizonyításában, szerkesztésben, és alkalmazási területeken, mint például az építészet vagy a fizika. A magasság segít megérteni a háromszög "magasságát" és alakját.
Hány magassága van egy háromszögnek?
Minden háromszögnek három magassága van, hiszen mindhárom csúcsból húzható merőleges a szemközti oldal egyenesére.
Mindig a háromszög belsejébe esik a magasság?
Nem, csak hegyesszögű háromszögek esetén esik mindhárom magasság a háromszög belsejébe. Tompaszögű háromszögeknél kettő magasság a háromszögön kívülre esik, míg derékszögű háromszögeknél két magasság a befogókkal esik egybe.
Melyik módszert használjam a magasságszámításhoz?
A választandó módszer attól függ, milyen adatok állnak rendelkezésre.
- Ha a háromszög oldalai ismertek, Heron képlete a legjobb kiindulópont.
- Ha két oldal és a közbezárt szög ismert, a trigonometria (szinuszfüggvény) a leghatékonyabb.
- Ha egy oldal és két szög ismert, a szinusztétel és a trigonometria kombinációja szükséges.
- Derékszögű háromszögek esetén speciális, egyszerűbb képletek léteznek.
Mi az az orthocentrum és hogyan kapcsolódik a magasságokhoz?
Az orthocentrum a háromszög magasságpontja, amely a három magasságvonal metszéspontja. Elhelyezkedése a háromszög típusától függ: hegyesszögűben bent, tompaszögűben kívül, derékszögűben a derékszög csúcsában található.
Lehetséges, hogy a magasság kisebb, mint az alap?
Igen, lehetséges. A magasság hossza nincs közvetlen, arányos összefüggésben az alap hosszával. Egy nagyon "lapos" vagy "nyúlánk" háromszögben az alap lehet sokkal hosszabb, mint a hozzá tartozó magasság.
Különbség van a magasság és a súlyvonal között?
Igen, lényeges különbség van. A magasság egy merőleges szakasz a csúcsból a szemközti oldal egyenesére. A súlyvonal pedig a csúcsból a szemközti felezőpontba húzott szakasz. Mindkettő fontos geometriai elem, de eltérő definícióval és felhasználással.
A magasság kiszámítása mindig egész számot eredményez?
Nem, szinte soha nem eredményez egész számot, kivéve speciális, gondosan megkonstruált eseteket. A legtöbb esetben tizedesvesszővel vagy gyökjellel kifejezhető számokat kapunk.
Hogyan segíthetnek a magasságok az építészetben?
Az építészetben a magasságok és az alapok ismerete elengedhetetlen a területek pontos kiszámításához, ami az anyagmennyiség felméréséhez, a szerkezetek stabilitásának tervezéséhez, vagy éppen tetőszerkezetek kialakításához szükséges. A háromszög alakú épületelemeknél vagy tetőrészeknél is kiemelt szerepük van.
