Gyakran találkozunk olyan helyzetekkel, ahol hétköznapi tárgyak, mint például egy vizespohár, egy virágcserép vagy akár egy klasszikus építészeti elem, mint a kútgyűrű, különleges geometriai formát öltenek. Ezek a formák, bár első ránézésre talán bonyolultnak tűnhetnek, valójában a matematika világának lenyűgöző elemei. Az egyik ilyen gyakori, mégis sokszor rejtélyesnek vélt forma a csonkakúp. Talán már te is elgondolkodtál azon, hogy mekkora az a bizonyos virágcserép, vagy mennyi víz fér a nagyi által kedvelt kancsóba, amelynek a csúcsa le van vágva. Ezeknek a mindennapi kérdéseknek a megválaszolása elvezet bennünket a csonkakúp térfogatának kiszámításához.
A csonkakúp nem más, mint egy olyan kúp, amelynek a csúcsi részét egy, az alappal párhuzamos síkkal levágták. Gondolhatunk rá úgy is, mint egy "csonkított" kúpra, amelynek két kör alakú alaplapja van, különböző átmérővel, és egy ferde palást köti össze őket. Ez a kettősség – két alap és egy palást – teszi egyedivé és érdekessé a csonkakúp térfogatának meghatározását, amelyhez szerencsére léteznek pontos matematikai képletek.
Ebben a részletes leírásban célunk, hogy alaposan körbejárjuk a csonkakúp térfogatának kiszámítását. Nem csak a végső képletet mutatjuk be, hanem lépésről lépésre lebontjuk, hogyan jutunk el hozzá, és milyen elemekre van szükségünk az eredményhez. Különböző szempontokat vizsgálunk meg, gyakorlati példákon keresztül szemléltetjük a képletek alkalmazását, és remélhetőleg ezzel segítünk, hogy a jövőben magabiztosan mozogj ezen a területen, legyen szó akár egy szimpla otthoni barkácsprojektről, akár egy komplexebb mérnöki feladatról.
Mi is pontosan a csonkakúp?
Mielőtt belemerülnénk a térfogat kiszámításának részleteibe, érdemes tisztázni, mi is az a csonkakúp. Képzeljünk el egy szabályos kúpot. Ha ezt a kúpot az alapjával párhuzamos síkkal kettévágjuk, akkor két részt kapunk: egy kisebb, hasonló kúpot és egy csonkakúpot. A csonkakúp tehát egy olyan test, amelynek két párhuzamos, kör alakú alaplapja van, és a palástja egyfelől a két alaplap kerületét köti össze, másfelől egy adott magasság mentén kapcsolja össze őket. A két alaplap átmérője eltérő, így a csonkakúpnak van egy felső, kisebb átmérőjű alapja és egy alsó, nagyobb átmérőjű alapja.
Az, hogy hogyan néz ki egy csonkakúp, nagyban függ a két alaplap méretétől és a magasságtól. Lehet egy nagyon lapos csonkakúp, ahol a két alaplap átmérője alig különbözik, és a magasság kicsi. De lehet egy meredek csonkakúp is, ahol az átmérők különbsége jelentős, és a magasság is nagyobb. Ezek a változó paraméterek mind befolyásolják a csonkakúp térfogatát, ami meg is adja a lényegét a számításoknak.
"A geometria nem csupán absztrakt fogalmak összessége, hanem a körülöttünk lévő világ leírásának és megértésének univerzális nyelve."
A csonkakúp térfogatának képlete
A csonkakúp térfogatának kiszámítása valójában a teljes kúp térfogatának és a levágott csúcsi rész térfogatának különbségéből is levezethető. Azonban a legrövidebb és legközvetlenebb út a speciális csonkakúp térfogatképlet alkalmazása. Ez a képlet a következő:
$$ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) $$
Nézzük meg, mit jelentenek az egyes változók ebben a képletben:
- $V$: A csonkakúp térfogata.
- $\pi$ (pi): A pí konstans, amely körülbelül 3.14159 értékű.
- $h$: A csonkakúp magassága. Ez a két alaplap síkja közötti merőleges távolság. Fontos, hogy a ferde magasságot ne keverjük össze a merőleges magassággal!
- $R$: A csonkakúp nagyobbik alaplapjának sugara. Ha csak az átmérőt ismerjük, akkor a sugarat úgy kapjuk meg, hogy az átmérőt elosztjuk kettővel ($R = D/2$).
- $r$: A csonkakúp kisebbik alaplapjának sugara. Szintén, ha az átmérő áll rendelkezésre, akkor $r = d/2$.
Ezeken az értékeken kívül szükségünk lehet néha a ferde magasságra ($l$) is, de a térfogat kiszámításához közvetlenül nem. A ferde magasság a palást egy generátorának hossza, azaz a két alaplap kerületének pontjait összekötő egyenes szakasz hossza.
A képlet első ránézésre talán kissé bonyolultnak tűnhet a $R^2 + Rr + r^2$ tag miatt, de valójában logikus felépítésű. A $R^2$ és $r^2$ tagok az alaplapok területeihez kapcsolódnak, míg az $Rr$ tag figyelembe veszi a két sugár közti kapcsolatot és a csonkolás hatását. A $\frac{1}{3}\pi h$ rész pedig emlékeztet a sima kúp térfogatképletére ($\frac{1}{3} \pi R^2 h$).
A csonkakúp térfogatának levezetése (röviden)
Érdemes megérteni, honnan is ered ez a képlet. Egyik lehetséges levezetés a teljes kúp és a levágott kisebb kúp térfogatának különbségéből indul ki.
Képzeljük el a csonkakúpot úgy, mint egy nagyobbik, $H$ magasságú és $R$ alapsugarú kúpból (amelynek a térfogata $V_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 H$) levágott kisebb, $h'$ magasságú és $r$ alapsugarú kúpot (amelynek a térfogata $V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h'$). A csonkakúp magassága, $h = H – h'$.
A hasonló háromszögek tulajdonságai alapján felírhatjuk a következő arányosságot:
$$ \frac{r}{R} = \frac{h'}{H} $$
Ebből kifejezhetjük $h'$-t: $h' = H \frac{r}{R}$.
Ezután a csonkakúp magassága: $h = H – h' = H – H \frac{r}{R} = H(1 – \frac{r}{R}) = H \frac{R-r}{R}$.
Ebből $H = h \frac{R}{R-r}$.
És $h' = H \frac{r}{R} = \left(h \frac{R}{R-r}\right) \frac{r}{R} = h \frac{r}{R-r}$.
Most már a csonkakúp térfogata $V = V_1 – V_2$:
$$ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H – \frac{1}{3}\pi r^2 h' $$
Helyettesítsük be a $H$ és $h'$ kifejezéseket:
$$ V = \frac{1}{3}\pi R^2 \left(h \frac{R}{R-r}\right) – \frac{1}{3}\pi r^2 \left(h \frac{r}{R-r}\right) $$
$$ V = \frac{1}{3}\pi h \left( \frac{R^3}{R-r} – \frac{r^3}{R-r} \right) $$
$$ V = \frac{1}{3}\pi h \left( \frac{R^3 – r^3}{R-r} \right) $$
Felhasználva az algebrai azonosságot ($a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$):
$$ V = \frac{1}{3}\pi h \left( \frac{(R-r)(R^2 + Rr + r^2)}{R-r} \right) $$
$$ V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2) $$
Így jutunk el a már ismert csonkakúp térfogatképlethez.
Hogyan számítsuk ki a csonkakúp térfogatát lépésről lépésre?
A gyakorlatban a csonkakúp térfogatának kiszámítása meglehetősen egyszerű, ha betartjuk a következő lépéseket:
- A csonkakúp magasságának meghatározása ($h$): Győződj meg róla, hogy a megadott magasság a két alaplap síkja közötti merőleges távolság. Ha a ferde magasságot adták meg, és a sugarakat ismerjük, akkor a Pitagorasz-tétellel ki tudjuk számolni a merőleges magasságot: $h = \sqrt{l^2 – (R-r)^2}$, ahol $l$ a ferde magasság.
- A nagyobbik alap sugárának meghatározása ($R$): Ha az átmérőt ($D$) ismered, oszd el kettővel: $R = D/2$. Ha a sugár már adva van, ezt a lépést kihagyhatod.
- A kisebbik alap sugárának meghatározása ($r$): Hasonlóan az előző ponthoz, ha az átmérő ($d$) adott, oszd el kettővel: $r = d/2$. Ha a sugár ismert, ezt is kihagyhatod.
- A csonkakúp térfogatképletének alkalmazása: Helyettesítsd be a kapott értékeket a képletbe:
$$ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) $$ - Számítás elvégzése: Számold ki a kifejezés értékét. Ügyelj a műveletek sorrendjére: először a hatványozások, szorzások, majd az összeadás a zárójelben, végül pedig a szorzás a $\frac{1}{3} \pi h$ taggal.
Példa:
Számoljuk ki egy csonkakúp térfogatát, amelynek magassága $h = 10$ cm, a nagyobbik alap sugara $R = 6$ cm, és a kisebbik alap sugara $r = 3$ cm.
- Magasság: $h = 10$ cm (adott)
- Nagyobb sugár: $R = 6$ cm (adott)
- Kisebb sugár: $r = 3$ cm (adott)
- Képlet alkalmazása:
$$ V = \frac{1}{3} \pi (10) (6^2 + 6 \times 3 + 3^2) $$ - Számítás:
$$ V = \frac{10\pi}{3} (36 + 18 + 9) $$
$$ V = \frac{10\pi}{3} (63) $$
$$ V = 10\pi \times 21 $$
$$ V = 210\pi \text{ cm}^3 $$
A pontos érték $210\pi$ cm$^3$. Ha közelítő értékre van szükségünk, behelyettesítjük a $\pi$ közelítő értékét (pl. 3.14159):
$$ V \approx 210 \times 3.14159 \approx 659.73 \text{ cm}^3 $$
A csonkakúp térfogatának kiszámítása gyakorlati példákban
A csonkakúp alakja rendkívül gyakori a mindennapi életben, ezért a térfogatának kiszámítása nem csak elméleti érdekesség. Lássunk néhány példát!
1. Vizespohár vagy bögre
Egy átlagos vizespohár vagy bögre gyakran csonkakúp alakú. Ha szeretnénk megtudni, hány liter folyadék fér bele, ismernünk kell a belső méreteit.
-
Feladat: Egy bögre belső magassága 12 cm. A pereménél mért belső átmérő 8 cm, az aljánál mért belső átmérő 6 cm. Mekkora a bögre űrtartalma?
-
Megoldás:
- Magasság ($h$) = 12 cm
- Nagyobb átmérő ($D$) = 8 cm, így nagyobb sugár ($R$) = 4 cm
- Kisebb átmérő ($d$) = 6 cm, így kisebb sugár ($r$) = 3 cm
A térfogatképlet:
$$ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) $$
$$ V = \frac{1}{3} \pi (12) (4^2 + 4 \times 3 + 3^2) $$
$$ V = 4\pi (16 + 12 + 9) $$
$$ V = 4\pi (37) $$
$$ V = 148\pi \text{ cm}^3 $$Közelítő érték: $148\pi \approx 148 \times 3.14159 \approx 464.95 \text{ cm}^3$.
Mivel 1 dm$^3$ = 1 liter, és 1 dm = 10 cm, így 1 dm$^3$ = 1000 cm$^3$.
Tehát a bögre űrtartalma kb. 0.465 liter, azaz 4.65 dl.
2. Virágcserép
A legtöbb virágcserép is csonkakúp alakú, ami megkönnyíti a növények átültetését és a cserép elhelyezését.
-
Feladat: Egy virágcserép külső magassága 15 cm. A pereménél mért külső átmérő 18 cm, az aljánál mért külső átmérő 12 cm. Mekkora a cserép anyagtérfogata, ha falvastagsága 1 cm?
-
Megoldás: Először a belső méretekre van szükségünk az űrtartalomhoz.
- Külső magasság ($h_{külső}$) = 15 cm
- Falvastagság = 1 cm
A belső magasság ($h_{belső}$) = $h_{külső}$ – falvastagság az aljánál (vagyis a magasság csökkenése a belső térhez képest, ha feltételezzük, hogy az alja is vastagított) = 15 cm – 1 cm = 14 cm.
- Külső nagyobb átmérő ($D_{külső}$) = 18 cm, külső nagyobb sugár ($R_{külső}$) = 9 cm
- Külső kisebb átmérő ($d_{külső}$) = 12 cm, külső kisebb sugár ($r_{külső}$) = 6 cm
A belső sugarak:
- Belső nagyobb sugár ($R_{belső}$) = $R_{külső}$ – falvastagság = 9 cm – 1 cm = 8 cm
- Belső kisebb sugár ($r_{belső}$) = $r_{külső}$ – falvastagság = 6 cm – 1 cm = 5 cm
Most már kiszámolhatjuk a belső űrtartalmat (a virágföldnek helyet adó teret):
$$ V_{belső} = \frac{1}{3} \pi h_{belső} (R_{belső}^2 + R_{belső}r_{belső} + r_{belső}^2) $$
$$ V_{belső} = \frac{1}{3} \pi (14) (8^2 + 8 \times 5 + 5^2) $$
$$ V_{belső} = \frac{14\pi}{3} (64 + 40 + 25) $$
$$ V_{belső} = \frac{14\pi}{3} (129) $$
$$ V_{belső} = 14\pi \times 43 $$
$$ V_{belső} = 602\pi \text{ cm}^3 $$Közelítő érték: $602\pi \approx 602 \times 3.14159 \approx 1891.24 \text{ cm}^3$. Ez tehát a virágcserép űrtartalma, kb. 1.89 liter.
Ha a cserép anyagtérfogatát akarnánk kiszámolni, akkor a külső és belső térfogat különbségét kellene venni. Ehhez a külső méretekkel kellene egy csonkakúpot számolni, majd levonni a belsőt.
3. Kútkő vagy építőelem
Néhány építkezésen használt elem, például a kútkövek vagy bizonyos tartályok is csonkakúp alakúak lehetnek.
-
Feladat: Egy betonból készült kútkő külső magassága 50 cm. A tetejénél mért átmérő 120 cm, az aljánál mért átmérő 100 cm. A falvastagság 8 cm. Mennyi a kő térfogata (azaz a beton mennyisége)?
-
Megoldás: Ebben az esetben a beton mennyisége a külső és belső csonkakúp térfogatának különbsége.
- Külső magasság ($h_{külső}$) = 50 cm
- Külső nagyobb átmérő ($D_{külső}$) = 120 cm, így $R_{külső}$ = 60 cm
- Külső kisebb átmérő ($d_{külső}$) = 100 cm, így $r_{külső}$ = 50 cm
A belső méretek:
- Belső magasság ($h_{belső}$) = $h_{külső}$ – falvastagság = 50 cm – 8 cm = 42 cm (feltételezve, hogy a magasság is csökken a falvastagsággal)
- Belső nagyobb sugár ($R_{belső}$) = $R_{külső}$ – falvastagság = 60 cm – 8 cm = 52 cm
- Belső kisebb sugár ($r_{belső}$) = $r_{külső}$ – falvastagság = 50 cm – 8 cm = 42 cm
Számítsuk ki a külső és belső csonkakúp térfogatát:
Külső térfogat:
$$ V_{külső} = \frac{1}{3} \pi h_{külső} (R_{külső}^2 + R_{külső}r_{külső} + r_{külső}^2) $$
$$ V_{külső} = \frac{1}{3} \pi (50) (60^2 + 60 \times 50 + 50^2) $$
$$ V_{külső} = \frac{50\pi}{3} (3600 + 3000 + 2500) $$
$$ V_{külső} = \frac{50\pi}{3} (9100) $$
$$ V_{külső} = \frac{455000\pi}{3} \text{ cm}^3 $$Belső térfogat:
$$ V_{belső} = \frac{1}{3} \pi h_{belső} (R_{belső}^2 + R_{belső}r_{belső} + r_{belső}^2) $$
$$ V_{belső} = \frac{1}{3} \pi (42) (52^2 + 52 \times 42 + 42^2) $$
$$ V_{belső} = 14\pi (2704 + 2184 + 1764) $$
$$ V_{belső} = 14\pi (6652) $$
$$ V_{belső} = 93128\pi \text{ cm}^3 $$Anyagtérfogat:
$$ V_{anyag} = V_{külső} – V_{belső} $$
$$ V_{anyag} = \frac{455000\pi}{3} – 93128\pi $$
A közös nevezőre hozva:
$$ V_{anyag} = \frac{455000\pi – 3 \times 93128\pi}{3} $$
$$ V_{anyag} = \frac{455000\pi – 279384\pi}{3} $$
$$ V_{anyag} = \frac{175616\pi}{3} \text{ cm}^3 $$Közelítő érték: $\frac{175616\pi}{3} \approx \frac{175616 \times 3.14159}{3} \approx \frac{551674}{3} \approx 183891 \text{ cm}^3$.
Ez azt jelenti, hogy körülbelül 0.184 m$^3$ betonra volt szükség a kútkő elkészítéséhez.
Fontos megfontolások és tippek
Amikor csonkakúpok térfogatával dolgozunk, néhány dologra érdemes odafigyelni a hibák elkerülése érdekében:
- Mértékegységek konzisztenciája: Győződj meg róla, hogy minden méret (magasság, sugarak) ugyanabban a mértékegységben van megadva. Ha nem, akkor át kell őket váltani, mielőtt a képletbe behelyettesíted őket. Ha például az egyik sugár centiméterben, a másik pedig méterben van megadva, az eredményed pontatlan lesz.
- Magasság vs. ferde magasság: Ahogy már említettük, a térfogatképletben szereplő $h$ mindig a csonkakúp merőleges magassága, nem a ferde magasság. Ha a ferde magasság van megadva, és a sugarakat ismered, a Pitagorasz-tétellel ki tudod számolni a merőleges magasságot.
- Sugár vs. átmérő: A képlet sugarakat használ. Ha csak az átmérőket ismered, ne felejtsd el azokat elosztani kettővel, mielőtt behelyettesíted a képletbe.
- Pontosság: Ha nem kérik külön a közelítő értéket, érdemes a $\pi$ jelölést meghagyni a végeredményben, így a legpontosabb eredményt kapod. Ha közelítő értékre van szükség, akkor a $\pi$ egy alkalmas közelítését (pl. 3.14 vagy 3.14159) használd.
- Kerekítés: Ha a feladat kerekítést ír elő, arra is figyelj oda.
A következő táblázat összefoglalja a legfontosabb paramétereket, amelyekre szükségünk van a csonkakúp térfogatának kiszámításához:
| Paraméter neve | Jelölés | Jelentése | Fontosság a képletben |
|---|---|---|---|
| Magasság | $h$ | A két alaplap síkja közötti merőleges távolság | Kötelező |
| Nagyobbik alap sugara | $R$ | A nagyobbik kör alap sugara | Kötelező |
| Kisebbik alap sugara | $r$ | A kisebbik kör alap sugara | Kötelező |
| $\pi$ (pi) | $\pi$ | Körülbelül 3.14159 értékű matematikai konstans | Kötelező |
| Ferde magasság | $l$ | A palást egyik generátorának hossza | Közvetlenül nem |
| Nagyobbik átmérő | $D$ | A nagyobbik alap átmérője ($D = 2R$) | Áttételesen (R kiszám.) |
| Kisebbik átmérő | $d$ | A kisebbik alap átmérője ($d = 2r$) | Áttételesen (r kiszám.) |
Fontos tudni, hogy a csonkakúp térfogatképlete egy általános formula, amely magában foglalja a teljes kúp (ahol $r=0$) és a henger (ahol $R=r=h_kúppal$) térfogatszámításának speciális eseteit is, ha ezeket megfelelően alkalmazzuk.
A csonkakúp térfogatának kiszámítása akkor válik igazán érdekessé, amikor a méretek nem adottak, hanem valamilyen más összefüggésből kell őket meghatározni, például a palást felszíne, vagy a ferde magasság ismeretében. Ezek a feladatok már bonyolultabbak, gyakran algebrai ismereteket és többismeretlenes egyenletrendszerek megoldását igénylik.
A következő táblázat bemutatja a csonkakúp térfogatának képletét és az egyes tényezőket:
| Képlet eleme | Szimbólum | Magyarázat | Példa érték |
|---|---|---|---|
| Térfogat | $V$ | A csonkakúp által bezárt tér nagysága | $210\pi \text{ cm}^3$ |
| $\pi$ | $\pi$ | Matematikai konstans, kb. 3.14159 | $\approx 3.14159$ |
| Magasság | $h$ | A két alaplap közötti merőleges távolság | 10 cm |
| Nagyobb sugár | $R$ | A csonkakúp nagyobbik kör alapjának sugara | 6 cm |
| Kisebb sugár | $r$ | A csonkakúp kisebbik kör alapjának sugara | 3 cm |
| Összegző tag | $R^2 + Rr + r^2$ | Az alaplapok területei és köztes tagjuk összege | $36 + 18 + 9 = 63$ |
A csonkakúp térfogatának alkalmazása a valóságban
A csonkakúp térfogatának kiszámítása nem csupán egy elvont matematikai feladat. Számos valós alkalmazási területe van, amelyek megkönnyítik az életünket és segítik a mérnöki, építészeti vagy akár a konyhai tervezést.
- Építőipar: Beton vagy más építőanyagok mennyiségének kiszámítása során gyakran kerülünk szembe csonkakúp alakú elemekkel, mint például a fent említett kútkövek, vagy speciális tartályok. A pontos térfogatszámítás alapvető a költségvetéshez és a szükséges anyagok meghatározásához.
- Mezőgazdaság: Gabona vagy más termények tárolására használt silók gyakran csonkakúp alakúak vagy ezek kombinációi. A csonkakúp térfogatának ismerete segít megbecsülni a tárolható mennyiséget.
- Konyha és ételkészítés: Gondoljunk csak a tortaformákra, amelyek gyakran csonkakúp alakúak, vagy azokra a tölcsérekre, amelyekkel a tejszínhabot vagy a krémet töltjük. A csonkakúp térfogata segít meghatározni, mennyi tésztára vagy krémre lesz szükségünk.
- Folyamatirányítás: A vegyiparban vagy más iparágakban, ahol folyadékokat vagy ömlesztett anyagokat tárolnak vagy szállítanak, gyakran használnak csonkakúp alakú tartályokat. A térfogat ismerete elengedhetetlen a folyamatok optimalizálásához és a készletek kezeléséhez.
- Design és esztétika: Akár bútorok tervezéséről, akár iparművészeti tárgyak készítéséről van szó, a csonkakúp alakja esztétikailag is kedvelt forma. Ennek a formának a méretezése, így a térfogatának kiszámítása is a tervezési folyamat része.
A csonkakúp sokoldalúsága mutatja, hogy a matematika hogyan fonódik össze a mindennapi élettel, és hogyan segít megérteni és formálni a körülöttünk lévő világot.
Gyakran ismételt kérdések a csonkakúp térfogatáról
H6: Mi a különbség egy kúp és egy csonkakúp között?
Egy kúpnak csak egyetlen alaplapja van (kör alakú) és egy csúcsa. A csonkakúp ezzel szemben egy olyan test, amelynek két, egymással párhuzamos kör alakú alaplapja van, amelyek átmérője eltérő. Képzelhetjük úgy, mint egy csonkolt kúpot, ahol a csúcsot levágták egy az alappal párhuzamos síkkal.
H6: Mire van szükségem a csonkakúp térfogatának kiszámításához?
A csonkakúp térfogatának kiszámításához a következő három értékre van szükséged:
- A csonkakúp merőleges magassága ($h$).
- A nagyobbik alaplap sugara ($R$).
- A kisebbik alaplap sugara ($r$).
H6: Mi van akkor, ha csak az átmérőket ismerem?
Ha csak az átmérőket ismered, akkor a sugarakat könnyen kiszámíthatod. Egyszerűen oszd el mindkét átmérőt kettővel. Tehát, ha a nagyobbik átmérő $D$, akkor $R = D/2$, és ha a kisebbik átmérő $d$, akkor $r = d/2$.
H6: Mi történik, ha a csonkakúpnak egyenlő az alaplapjai sugara ($R=r$)?
Ha a csonkakúp alaplapjainak sugara egyenlő ($R=r$), akkor a csonkakúp valójában egy henger. Ebben az esetben a csonkakúp térfogatképlete a henger térfogatképletére egyszerűsödik:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + R \times R + R^2) = \frac{1}{3} \pi h (3R^2) = \pi R^2 h$, ami a henger térfogata.
H6: Mi van akkor, ha a csonkakúp kisebbik alapjának sugara nulla ($r=0$)?
Ha a kisebbik alaplap sugara nulla ($r=0$), akkor a csonkakúp valójában egy teljes kúp. Ebben az esetben a csonkakúp térfogatképlete a teljes kúp térfogatképletére egyszerűsödik:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + R \times 0 + 0^2) = \frac{1}{3} \pi h R^2$, ami a teljes kúp térfogata.
H6: Milyen egységekben kell megadni az eredményt?
Az eredmény egysége ugyanaz lesz, mint amilyen egységben a magasságot és a sugarakat megadtad, csak köbre emelve. Ha például minden méretet centiméterben adtál meg, akkor a térfogat köbcentiméter (cm$^3$) lesz. Ha méterben, akkor köbméter (m$^3$) lesz az eredmény. Ha litert vagy decilitert szeretnél kapni, akkor át kell váltanod: 1 liter = 1 dm$^3$ = 1000 cm$^3$.
H6: Miért van a képletben a $\frac{1}{3}$ szorzó?
A $\frac{1}{3}$ szorzó a kúpok és csonkakúpok térfogatszámításának jellegzetessége. Ez abból adódik, hogy a térfogat integrálszámítással vezethető le, ahol ez a tényező természetesen jelenik meg. Ezen kívül megkülönbözteti a térfogatot a terület- vagy kerületképletektől.
H6: Hogyan számolhatom ki a csonkakúp palástfelületét?
A csonkakúp palástfelületének kiszámításához szükség van a ferde magasságra ($l$). A képlet: $A_{palást} = \pi (R+r)l$. A teljes felszínt úgy kapod meg, ha ehhez hozzáadod a két alaplap területét: $A_{teljes} = A_{alap1} + A_{alap2} + A_{palást} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi (R+r)l$. A ferde magasságot a Pitagorasz-tétellel tudod kiszámolni: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$.
