Az algebrai törtekkel való munka talán elsőre ijesztőnek tűnhet, különösen, ha új vagy még a számok és változók világában. Sok diák számára ezek a kifejezések valami elvont és nehezen megfogható dolgot jelentenek, ami akadályt jelenthet a haladásban. De gondolj bele, mennyi minden bonyolultnak tűnik elsőre, amíg meg nem értjük a mögöttes logikát. Az algebrai törtek egyszerűsítése is pontosan ilyen: egy olyan készség, ami ha egyszer elsajátítasz, megnyitja az ajtót a komplexebb problémák megoldása felé.
Ezek a törtek lényegében olyan törtkifejezések, ahol a számláló és a nevező is tartalmazhat változókat, számokat és matematikai műveleteket. Nem kell megijedni tőlük; valójában csak a jól ismert számnevekhez hasonlóan működnek, csak épp változókkal bővülnek. Ahogy a számnevek esetében is, az algebrai törtek esetében is célunk, hogy a lehető legegyszerűbb formába hozzuk őket, megkönnyítve ezzel a további műveleteket és a megértést. Ebben a részletesen kidolgozott anyagban mindent megtalálsz, ami ehhez szükséges, a legfontosabb fogalmaktól a gyakorlati példákon át egészen a speciális esetekig.
Ez az útmutató arra hivatott, hogy levesse a titokzatosság fátylát az algebrai törtek egyszerűsítéséről. Nem fogunk felületes magyarázatokkal élni; célunk, hogy mélyre merüljünk a témában. Megvizsgáljuk az alapvető szabályokat, a leggyakrabban előforduló hibákat, és azt is, hogyan kerülheted el őket. Végigvezetünk a legkülönfélébb típusú feladatokon, így mire a végére érsz, magabiztosan fogsz tudni megbirkózni bármilyen algebrai törttel. Felkészültél a felfedezésre?
Mi is az az algebrai tört?
Egy algebrai tört olyan kifejezés, amelyben a számláló és a nevező is polinomiális, vagy általánosabban, algebrai kifejezések halmaza. Lényegében egy olyan tört, ahol a számok helyett változók is szerepelhetnek. A legegyszerűbb formája, mint például $\frac{x}{y}$, ahol $x$ és $y$ változók. Azonban lehetnek sokkal összetettebbek is, például $\frac{x^2 + 2x + 1}{x+1}$.
A legfontosabb megkülönböztetés, hogy az algebrai törtek is rendelkeznek egy olyan feltétellel, mint a számtani törtek esetében: a nevező soha nem lehet nulla. Ha a nevező nulla lenne, az egész kifejezés értelmetlenné válik. Ez a megkötés kritikus fontosságú az algebrai törtek kezelése során, és befolyásolja, hogy egy adott változó milyen értékeket vehet fel.
Alapvető fogalmak az algebrai törtek kapcsán
Az algebrai törtek megértéséhez elengedhetetlen néhány alapvető fogalom tisztázása. Ezek a fogalmak adják meg a keretet, amelyen belül az egyszerűsítési folyamat zajlik.
- Polinom: Egy olyan kifejezés, amely változókból, konstansokból és a kiemelés, összeadás, kivonás, szorzás műveletekből áll. Például $3x^2 – 5x + 2$ egy polinom. Az algebrai törtek számlálóját és nevezőjét gyakran polinomok alkotják.
- Faktorizáció (szorzattá alakítás): Egy polinom felbontása kisebb, egyszerűbb polinomok szorzatára. Ez az algebrai törtek egyszerűsítésének egyik legfontosabb lépése. Például az $x^2 – 4$ polinom kétlineáris tényezőre bontható: $(x-2)(x+2)$.
- Közös tényező: Olyan kifejezés, amely mind a számlálóban, mind a nevezőben megtalálható. Az egyszerűsítés lényege ezen közös tényezők elhagyása.
- Értelmezési tartomány: Azok a változóértékek, amelyekre a kifejezés értelmezve van. Algebrai törtek esetében ez azt jelenti, hogy a nevező nem lehet nulla.
Miért fontos az algebrai törtek egyszerűsítése?
Az algebrai törtek egyszerűsítése nem csupán egy elméleti gimnasztika, hanem praktikus szempontból is rendkívül hasznos. Az egyszerűbb alakok könnyebben kezelhetők, áttekinthetőbbek és kevesebb hibalehetőséget rejtenek magukban. Gondoljunk csak a számnevek összeadására: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ helyett sokkal egyszerűbb $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ formában számolni. Ugyanez igaz az algebrai törtekre is.
Az egyszerűsítés megkönnyíti a következő lépéseket is:
- Összeadás és kivonás: Egyszerűsíteni a törteket azelőtt, hogy közös nevezőre hoznánk őket, gyakran jelentősen csökkenti a számolási terhet.
- Szorzás és osztás: Szorzás és osztás során az egyszerűsítés szinte elengedhetetlen a feladatok gyors és pontos elvégzéséhez.
- Egyenletek megoldása: Az algebrai törteket tartalmazó egyenletek megoldása során az egyszerűsítés segít az egyenlet "könnyebb" formájának elérésében.
- Grafikonok készítése: Az egyszerűsített alak gyakran jobban megmutatja a függvény viselkedését, például a szakadásokat vagy aszimptotákat.
"Az egyszerűség a matematika egyik legmagasabb esztétikai értéke."
Az algebrai törtek egyszerűsítésének lépései
Az algebrai törtek egyszerűsítésének folyamata logikus lépések sorozatára épül, amelyek akkor is működnek, ha a kifejezések bonyolultnak tűnnek. A kulcs a rendezettség és a lépésről lépésre történő haladás.
1. lépés: A számláló és a nevező faktorizálása
Ez a legfontosabb és gyakran legnehezebb lépés. Mind a számlálót, mind a nevezőt teljesen fel kell bontani az összes lehetséges tényezőre. Ez magában foglalhatja:
- Közös kiemelés: Ha van közös tényezője minden tagnak, azt ki kell emelni.
Például: $4x^2 + 6x = 2x(2x + 3)$ - Néhány nevezetes azonosság alkalmazása:
- Négyzetkülönbség: $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$
Például: $x^2 – 9 = (x-3)(x+3)$ - Négyzetek összege (nem bontható valós számok körében egyszerűen): $a^2 + b^2$
- Két tag négyzetének összege: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- Két tag négyzetének különbsége: $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$
- Négyzetkülönbség: $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$
- Általános másodfokú polinomok faktorizálása:
- $ax^2 + bx + c$ típusú polinomok esetében keresünk két számot, amelyek szorzata $a \cdot c$, összege pedig $b$.
- Például: $x^2 + 5x + 6$. Keressünk két számot, amelyek szorzata 6, összege 5. Ez az 2 és a 3. Tehát $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$.
2. lépés: Közös tényezők azonosítása és elhagyása
Miután a számlálót és a nevezőt is faktorizáltuk, meg kell vizsgálni, hogy melyek azok a tényezők, amelyek mindkét részen megtalálhatóak. Ezeket a közös tényezőket lehet eltörölni, vagyis egyszerűsíteni a törttel.
Fontos megjegyezni, hogy csak a szorzótényezőket lehet elhagyni. Nem lehet például a $\frac{x+2}{x+3}$ kifejezésben az $x$-eket, vagy a számláló 2-esét a nevező 3-asával elosztani.
Példa:
$\frac{2(x+1)}{4(x+1)}$
Itt a számlálóban van a $2$ és az $(x+1)$ tényező, a nevezőben pedig a $4$ és az $(x+1)$ tényező. A közös tényező az $(x+1)$. Ezen kívül a $2$ és a $4$ számoknak is van közös tényezőjük, a $2$.
Tehát:
$\frac{2(x+1)}{4(x+1)} = \frac{2}{4} \cdot \frac{x+1}{x+1}$
Most elvégezhetjük az egyszerűsítést:
$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{x+1}{x+1} = 1$ (feltéve, hogy $x+1 \neq 0$, azaz $x \neq -1$)
Végeredmény: $\frac{1}{2}$
3. lépés: Értelmezési tartomány figyelembevétele
Az egyszerűsítés során mindig szem előtt kell tartani az eredeti tört értelmezési tartományát. Ha egy közös tényezőt elhagyunk, azzal együtt azokat a változóértékeket is kizárjuk, amelyekre ez a tényező nulla.
Példa:
$\frac{x^2 – 4}{x – 2}$
- Faktorizáljuk a számlálót: $x^2 – 4 = (x-2)(x+2)$
- A tört így néz ki: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$
- A közös tényező az $(x-2)$. Ha elhagyjuk, a tört $\frac{x+2}{1} = x+2$ lesz.
- Fontos megjegyzés: Az eredeti tört nem volt értelmezve, ha a nevező $x-2 = 0$, azaz $x=2$ volt. Tehát a végleges $(x+2)$ kifejezés csak $x \neq 2$ esetén érvényes. Azaz a tört egyszerűsített alakja $x+2$, de az értelmezési tartománya $x \neq 2$.
Példák az algebrai törtek egyszerűsítésére
Nézzünk néhány konkrét példát, amelyek megvilágítják a fent említett lépéseket. A gyakorlat teszi a mestert, és ezek a példák segítenek abban, hogy magabiztosan haladj tovább.
Példa 1: Egyszerű faktorizálás
Egyszerűsítsük a következő törtet:
$\frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 2x}$
- Faktorizáljuk a számlálót: A számlálóban minden tagnak van egy $3x$ közös tényezője.
$3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$ - Faktorizáljuk a nevezőt: A nevezőben minden tagnak van egy $x$ közös tényezője.
$x^2 + 2x = x(x + 2)$ - Írjuk fel a törtet a faktorizált alakban:
$\frac{3x(x + 2)}{x(x + 2)}$ - Azonosítsuk és hagyjuk el a közös tényezőket: A közös tényezők az $x$ és az $(x+2)$.
$\frac{\cancel{3x}\cancel{(x + 2)}}{\cancel{x}\cancel{(x + 2)}} = 3$ - Értelmezési tartomány: Az eredeti tört nem volt értelmezve, ha a nevező nulla: $x^2 + 2x = 0 \implies x(x+2) = 0$. Ez azt jelenti, hogy $x \neq 0$ és $x \neq -2$.
Tehát az egyszerűsített alak $3$, de ez csak akkor érvényes, ha $x \neq 0$ és $x \neq -2$.
Példa 2: Négyzetkülönbség alkalmazása
Egyszerűsítsük a következő törtet:
$\frac{x^2 – 16}{x^2 – 4x}$
- Faktorizáljuk a számlálót: A számláló egy négyzetszámok különbsége ($x^2 – 4^2$).
$x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4)$ - Faktorizáljuk a nevezőt: A nevezőben kiemelhetünk egy $x$ tényezőt.
$x^2 – 4x = x(x – 4)$ - Írjuk fel a törtet a faktorizált alakban:
$\frac{(x – 4)(x + 4)}{x(x – 4)}$ - Azonosítsuk és hagyjuk el a közös tényezőket: A közös tényező az $(x-4)$.
$\frac{\cancel{(x – 4)}(x + 4)}{x\cancel{(x – 4)}} = \frac{x + 4}{x}$ - Értelmezési tartomány: Az eredeti tört nem volt értelmezve, ha $x^2 – 4x = 0 \implies x(x-4) = 0$. Tehát $x \neq 0$ és $x \neq 4$.
Az egyszerűsített alak $\frac{x+4}{x}$, ahol $x \neq 0$ és $x \neq 4$.
Példa 3: Több lépéses faktorizálás
Egyszerűsítsük a következő törtet:
$\frac{2x^2 – 8x}{x^2 – x – 12}$
- Faktorizáljuk a számlálót: Először emeljünk ki közös tényezőt (2x).
$2x^2 – 8x = 2x(x – 4)$ - Faktorizáljuk a nevezőt: Ez egy másodfokú polinom. Keresünk két számot, amelyek szorzata $-12$, összege pedig $-1$. Ezek a $-4$ és a $3$.
$x^2 – x – 12 = (x – 4)(x + 3)$ - Írjuk fel a törtet a faktorizált alakban:
$\frac{2x(x – 4)}{(x – 4)(x + 3)}$ - Azonosítsuk és hagyjuk el a közös tényezőket: A közös tényező az $(x-4)$.
$\frac{2x\cancel{(x – 4)}}{\cancel{(x – 4)}(x + 3)} = \frac{2x}{x + 3}$ - Értelmezési tartomány: Az eredeti tört nem volt értelmezve, ha $x^2 – x – 12 = 0 \implies (x-4)(x+3) = 0$. Tehát $x \neq 4$ és $x \neq -3$.
Az egyszerűsített alak $\frac{2x}{x+3}$, ahol $x \neq 4$ és $x \neq -3$.
Speciális esetek és gyakori hibák
Bár az alapelvek egyszerűek, az algebrai törtekkel való munka során előfordulhatnak olyan helyzetek vagy hibák, amelyek megnehezítik a folyamatot. Ezeknek az ismerete segíthet elkerülni a bosszantó tévedéseket.
A negatív előjelek kezelése
A negatív előjelek rendkívül gyakori forrásai a hibáknak. Fontos tudni, hogy egy negatív előjel az egész törtre, a számlálóra vagy a nevezőre is vonatkozhat.
- $-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$
Példa:
Egyszerűsítsük a következő törtet:
$\frac{x-2}{2-x}$
- Megfigyelhetjük, hogy a számláló és a nevező egymás ellentettjei. A $(2-x)$ kifejezést átírhatjuk $-1 \cdot (x-2)$ alakban.
$\frac{x-2}{2-x} = \frac{x-2}{-(x-2)}$ - Most már kiemelhetjük az $(x-2)$ közös tényezőt.
$\frac{\cancel{x-2}}{-(x-2)} = \frac{1}{-1} = -1$ - Értelmezési tartomány: Az eredeti tört nem volt értelmezve, ha $2-x = 0$, azaz $x=2$.
Tehát az egyszerűsített alak $-1$, ahol $x \neq 2$.
Törtek, ahol a számláló vagy nevező egyetlen tag
Ha a számláló vagy a nevező egyetlen tagból áll, az egyszerűsítés sokszor gyorsabb.
Példa:
Egyszerűsítsük a következő törtet:
$\frac{6x^2y^3}{9xy^2}$
- Faktorizáljuk a számokat: $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3 \cdot 3$.
- Faktorizáljuk a változókat: $x^2 = x \cdot x$, $y^3 = y \cdot y \cdot y$.
- Írjuk fel a törtet a bontott alakban:
$\frac{2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y}{3 \cdot 3 \cdot x \cdot y \cdot y}$ - Hagyjuk el a közös tényezőket: Kivonhatjuk az azonos változók kitevőit, vagy egyszerűen kihúzhatjuk a közös tényezőket.
$\frac{2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot \cancel{y} \cdot \cancel{y} \cdot y}{\cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y} \cdot \cancel{y}} = \frac{2xy}{3}$
Vagy kitevők különbségével:
$\frac{6}{9} x^{2-1} y^{3-2} = \frac{2}{3} x^1 y^1 = \frac{2xy}{3}$ - Értelmezési tartomány: Az eredeti tört nem volt értelmezve, ha $9xy^2 = 0$. Ez azt jelenti, hogy $x \neq 0$ és $y \neq 0$.
Gyakori hiba: tagonkénti egyszerűsítés
Az egyik leggyakoribb hiba, amit az algebrai törtekkel kapcsolatban elkövetnek a diákok, az a tagonkénti egyszerűsítés. Ezt táblázatban is szemléltethetjük.
| Helyes megközelítés (faktorizálás után) | Helytelen megközelítés (tagonkénti egyszerűsítés) |
|---|---|
| $\frac{3x + 6}{3} = \frac{3(x + 2)}{3} = x+2$ | $\frac{3x + 6}{3} \neq 3x + 2$ (a 3-at csak az egyik taggal osztották le) |
| $\frac{x^2 + x}{x} = \frac{x(x+1)}{x} = x+1$ | $\frac{x^2 + x}{x} \neq x + x = 2x$ (az $x$-et mindkét taggal leosztották, pedig az a nevező csak egy tényező) |
| $\frac{a+b}{a+c}$ nem egyszerűsíthető | $\frac{a+b}{a+c} \neq \frac{b}{c}$ (az $a$-kat nem lehet eltörölni, mert nem szorzótényezők) |
"Az algebrai manipulációk akkor a legerősebbek, ha a mögöttes logikát megértjük, nem csak a mechanikus lépéseket követjük."
Többváltozós algebrai törtek és speciális esetek
Az eddigi példák főként egyváltozós polinomokkal foglalkoztak. Azonban az algebrai törtek több változót is tartalmazhatnak, és néha előfordulnak olyan esetek, amikor az egyszerűsítés látszólag nem lehetséges, vagy speciális technikát igényel.
Többváltozós törtek egyszerűsítése
A többváltozós esetekben ugyanazok az elvek érvényesek: faktorizálni kell a számlálót és a nevezőt, majd el kell hagyni a közös tényezőket.
Példa:
Egyszerűsítsük a következő törtet:
$\frac{4x^2y – 8xy^2}{2x^2y^2 – 4xy^3}$
- Faktorizáljuk a számlálót: A leggyakoribb tényezők a $4, x, y$.
$4x^2y – 8xy^2 = 4xy(x – 2y)$ - Faktorizáljuk a nevezőt: A leggyakoribb tényezők a $2, x, y^2$.
$2x^2y^2 – 4xy^3 = 2xy^2(x – 2y)$ - Írjuk fel a törtet a faktorizált alakban:
$\frac{4xy(x – 2y)}{2xy^2(x – 2y)}$ - Azonosítsuk és hagyjuk el a közös tényezőket: A közös tényezők: $x, y, (x-2y)$. A számoknál $\frac{4}{2} = 2$, és $y^2$ a nevezőben, $y$ a számlálóban, így $y$ marad a nevezőben.
$\frac{4xy(x – 2y)}{2xy^2(x – 2y)} = \frac{2 \cdot (x-2y)}{y \cdot (x-2y)} = \frac{2}{y}$ - Értelmezési tartomány: Az eredeti tört nem volt értelmezve, ha $2xy^2(x-2y) = 0$. Ez azt jelenti, hogy $x \neq 0$, $y \neq 0$, és $x \neq 2y$.
Tehát az egyszerűsített alak $\frac{2}{y}$, ahol $x \neq 0$, $y \neq 0$, és $x \neq 2y$.
Feladatok, ahol a faktorizálás nem triviális
Néha a polinomok faktorizálása bonyolultabb lehet, és több kreativitást igényel.
Példa:
Egyszerűsítsük a következő törtet:
$\frac{x^3 – 8}{x^2 – 4}$
- Faktorizáljuk a számlálót: Ez egy köbkülönbség ($a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$).
$x^3 – 8 = x^3 – 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$ - Faktorizáljuk a nevezőt: Ez egy négyzetszámok különbsége ($a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$).
$x^2 – 4 = x^2 – 2^2 = (x-2)(x+2)$ - Írjuk fel a törtet a faktorizált alakban:
$\frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{(x-2)(x+2)}$ - Azonosítsuk és hagyjuk el a közös tényezőket: A közös tényező az $(x-2)$.
$\frac{\cancel{(x-2)}(x^2 + 2x + 4)}{\cancel{(x-2)}(x+2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x+2}$ - Értelmezési tartomány: Az eredeti tört nem volt értelmezve, ha $x^2 – 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0$. Tehát $x \neq 2$ és $x \neq -2$.
Az egyszerűsített alak $\frac{x^2 + 2x + 4}{x+2}$, ahol $x \neq 2$ és $x \neq -2$. Figyeljük meg, hogy a számlálóban lévő $x^2 + 2x + 4$ polinomot már nem lehet tovább egyszerűsíteni valós számok körében, diszkriminánsa $2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 – 16 = -12 < 0$.
Törtek, ahol az egyik rész a másik negatívja
Ezt már érintettük, de érdemes egy másik példával is megerősíteni.
Példa:
Egyszerűsítsük a következő törtet:
$\frac{5y – 5x}{x^2 – 2xy + y^2}$
- Faktorizáljuk a számlálót: Emeljünk ki 5-öt, majd cseréljük fel a tagokat, hogy egyezzenek a nevezővel.
$5y – 5x = 5(y – x) = -5(x – y)$ - Faktorizáljuk a nevezőt: Ez egy teljes négyzet ($a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2$).
$x^2 – 2xy + y^2 = (x – y)^2 = (x-y)(x-y)$ - Írjuk fel a törtet a faktorizált alakban:
$\frac{-5(x – y)}{(x – y)(x – y)}$ - Azonosítsuk és hagyjuk el a közös tényezőket: Egy $(x-y)$ tényező.
$\frac{-5\cancel{(x – y)}}{\cancel{(x – y)}(x – y)} = \frac{-5}{x – y}$ - Értelmezési tartomány: Az eredeti tört nem volt értelmezve, ha $(x-y)^2 = 0$, azaz $x=y$.
Tehát az egyszerűsített alak $\frac{-5}{x-y}$, ahol $x \neq y$. Ezt átírhatjuk $\frac{5}{y-x}$ alakba is.
Összefoglaló táblázat a típusokról
Az algebrai törtek egyszerűsítésénél többféle típussal találkozhatunk, amelyek mindegyike a faktorizálás és a közös tényezők elhagyásának alapelvére épül.
| Típusa az algebrai törtnek | Példa | Faktorizálás | Egyszerűsítés utáni alak |
|---|---|---|---|
| Egyszerű közös kiemelés | $\frac{2x+4}{4}$ | $\frac{2(x+2)}{4}$ | $\frac{x+2}{2}$ |
| Négyzetkülönbség | $\frac{x^2-9}{x-3}$ | $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$ | $x+3$ |
| Másodfokú polinomfaktorizálás | $\frac{x^2+5x+6}{x+2}$ | $\frac{(x+2)(x+3)}{x+2}$ | $x+3$ |
| Többváltozós, többszörös tényező | $\frac{3x^2y}{6xy^2}$ | $\frac{3 \cdot x \cdot x \cdot y}{2 \cdot 3 \cdot x \cdot y \cdot y}$ | $\frac{x}{2y}$ |
| Negatív előjel szerepe | $\frac{a-b}{b-a}$ | $\frac{a-b}{-(a-b)}$ | $-1$ |
| Köbkülönbség és négyzetszámok különbsége | $\frac{x^3-1}{x^2-1}$ | $\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}$ | $\frac{x^2+x+1}{x+1}$ |
| Számláló vagy nevező egyetlen tag (egyszerű törtrész) | $\frac{5x^3y^2}{10x^2y^3}$ | (már faktorizált) | $\frac{1}{2y}$ |
GYIK az algebrai törtekkel kapcsolatban
H6: Mi az algebrai tört lényege?
Az algebrai tört olyan törtkifejezés, ahol a számláló és a nevező is tartalmazhat változókat és konstansokat. Például $\frac{x+3}{x^2-1}$ egy algebrai tört. A legfontosabb szabály, hogy a nevező nem lehet nulla.
H6: Hogyan kezdjem el egy algebrai tört egyszerűsítését?
Mindig a számláló és a nevező faktorizálásával (szorzattá alakításával) kell kezdeni. Miután mindkettőt teljesen felbontottad a tényezőire, azonosítsd azokat a tényezőket, amelyek mind a számlálóban, mind a nevezőben megtalálhatóak, és ezeket lehet eltörölni.
H6: Mikor nem lehet egy algebrai törtet tovább egyszerűsíteni?
Egy algebrai tört akkor van a legegyszerűbb alakjában, ha a számláló és a nevező között nincs közös szorzótényező. Ha már minden lehetséges tényezőt kiemeltél és elvégezted az egyszerűsítést, és a maradék számlálónak és nevezőnek nincsenek közös tényezői (az 1 és -1 kivételével), akkor az tört már nem egyszerűsíthető tovább.
H6: Mit tegyek, ha a számláló és a nevező egymás ellentettjei, például $\frac{x-5}{5-x}$?
Ebben az esetben a nevezőt átírhatod a számláló ellentettjére, vagy fordítva. Például, $5-x = -(x-5)$. Így a tört $\frac{x-5}{-(x-5)}$ alakú lesz, ami $-1$ egyszerűsítés után. Mindig ügyelj az értelmezési tartományra, hogy $x \neq 5$ legyen.
H6: Mi a különbség az algebrai törtek és a szokásos törtek egyszerűsítése között?
Az alapelv ugyanaz: keressük a közös tényezőket és hagyjuk el őket. Azonban az algebrai törteknél változókkal dolgozunk, így a faktorizálás technikái, mint a polinomfaktorizálás, sokkal fontosabbak. Emellett mindig figyelembe kell venni az értelmezési tartományt, ami a változók lehetséges értékeit korlátozza.
H6: Mi történik, ha a számláló vagy a nevező nem bontható tovább tényezőkre?
Ha egy polinomot nem lehet tovább faktorizálni valós számok körében (például egy irreducibilis másodfokú polinom, mint az $x^2+1$), akkor az már a legegyszerűbb formájában van, és nem lehet tovább egyszerűsíteni. Ha ilyen szerepel egy törtben, akkor az csak akkor "tűnik el", ha a másik részben is megtalálható ugyanez a tényező.
