Az abszolútérték-függvény grafikus ábrázolása

Az abszolútérték-függvény fogalma nem csupán egy újabb matematikai definíció a sok közül, hanem egy olyan koncepció, amely mindennapi életünk számos területén visszaköszön, gyakran észrevétlenül. Gondoljunk csak a hőmérséklet ingadozására, ami nem a mélypont vagy a csúcspont, hanem a kettő közötti különbség nagysága szempontjából érdekes, vagy arra, hogy mennyit kell autózni egy adott távolság megtételéhez, függetlenül attól, hogy milyen irányban haladunk. Ezekben a helyzetekben az abszolútérték természetes módon jelenik meg, hiszen sokszor nem a negatív előjel a lényeg, hanem a távolság, az eltérés, a nagyságrend.

Ebben a bemutatóban mélyre merülünk az abszolútérték-függvény világában, és nem csak annak matematikai definícióját vizsgáljuk meg, hanem azt is, hogyan jelenik meg ez a fogalom különböző kontextusokban. Megmutatjuk, hogy az abszolútérték hogyan alakítja át a számokat, és hogyan befolyásolja a hozzá kapcsolódó függvények viselkedését. A célunk, hogy érthetővé és felhasználhatóvá tegyük ezt a fontos matematikai eszközt, megvilágítva annak sokszínűségét és alkalmazhatóságát.

Az abszolútérték-függvény grafikus ábrázolásának megértése kulcsfontosságú ahhoz, hogy magabiztosan navigáljunk a haladóbb matematikai témákban, legyen szó algebrai egyenletekről, grafikus analízisekről vagy akár valós világbeli problémák modellezéséről. Bemutatjuk, hogyan születnek meg ezek a jellegzetes V-alakú grafikonok, milyen elemek befolyásolják a formájukat és elhelyezkedésüket, és hogyan tudjuk ezeket a grafikonokat egyszerű transzformációkkal módosítani. Készen állsz egy vizuális utazásra, amely új perspektívát nyújt a számok világára?

Az abszolútérték alapjai

Az abszolútérték fogalma rendkívül egyszerű, mégis alapvető fontosságú a matematikában. Az abszolútérték lényegében egy szám távolságát jelöli a nulla ponttól a számegyenesen. Mivel a távolság mindig nem-negatív, az abszolútérték értéke soha nem lehet negatív.

Matematikailag az abszolútértéket függőleges vonalakkal jelöljük. Egy $x$ szám abszolútértékét $|x|$ formában írjuk. A definíció a következőképpen fogalmazható meg:

$$
|x| =
\begin{cases}
x, & \text{ha } x \ge 0 \
-x, & \text{ha } x < 0
\end{cases}
$$

Ez a definíció két fő esetet különböztet meg:

• Ha a bemeneti szám ($x$) nem-negatív (azaz nulla vagy pozitív), akkor az abszolútértéke maga a szám. Például $|5| = 5$.
• Ha a bemeneti szám ($x$) negatív, akkor az abszolútértéke a szám ellentettje lesz, ami így pozitívvá válik. Például $|-3| = -(-3) = 3$.

A nulla abszolútértéke definíció szerint nulla: $|0| = 0$.

A számegyenesen

Képzeljük el a számegyenest. A nulla a középpont. Egy pozitív szám, például 4, 4 egység távolságra van a nulától jobbra. A $-4$ pedig 4 egység távolságra van a nulától balra. Mindkét esetben a távolság 4. Az abszolútérték pontosan ezt a távolságot ragadja meg.

Az abszolútérték-függvény

Amikor az abszolútértéket egy változóhoz társítjuk, és függvényként tekintünk rá, akkor az abszolútérték-függvényről beszélünk. A leggyakrabban használt abszolútérték-függvény az $f(x) = |x|$. Ennek a függvénynek a grafikus ábrázolása, ahogy később látni fogjuk, egy jellegzetes V-alakot ölt.

Fontos megjegyzés: Az abszolútérték lényege a "nagyság", az eltérés, a távolság, nem pedig az irány vagy az előjel. Ez teszi olyanná, mint egy iránytű, amely mindig a "pozitív" irányba mutat, függetlenül attól, hogy honnan indultunk.

Az abszolútérték-függvény grafikus ábrázolása

Az abszolútérték-függvény grafikus ábrázolása segít vizuálisan megérteni a függvény viselkedését. Vizsgáljuk meg a legegyszerűbb esetet, az $f(x) = |x|$ függvényt.

A legegyszerűbb eset: $f(x) = |x|$

Ahhoz, hogy megértsük ennek a függvénynek a grafikonját, készítsünk egy kis értéktáblázatot:

| $x$ | $f(x) = |x|$ | Megjegyzés |
| :—– | :———- | :————————————— |
| -3 | 3 | Negatív szám, így az ellentettje a 3. |
| -2 | 2 | Negatív szám, így az ellentettje a 2. |
| -1 | 1 | Negatív szám, így az ellentettje az 1. |
| 0 | 0 | Nulla, így önmaga. |
| 1 | 1 | Pozitív szám, így önmaga. |
| 2 | 2 | Pozitív szám, így önmaga. |
| 3 | 3 | Pozitív szám, így önmaga. |

Ha ezeket a pontokat ábrázoljuk egy koordinátarendszerben, azt látjuk, hogy a negatív $x$ értékekhez pozitív $y$ értékek tartoznak, míg a pozitív $x$ értékekhez ugyancsak pozitív $y$ értékek. A $0$-nál a grafikon "törik meg", és itt éri el a legkisebb értékét (minimumát), ami $0$.

A grafikon két sugarat alkot, amelyek a $(0,0)$ origóból indulnak ki, és ellentétes irányban nyílnak. Az egyik sugár a negatív $x$-tengelyen felfelé halad, míg a másik a pozitív $x$-tengelyen felfelé. Ez a jellegzetes V-alak a legismertebb ábrázolása az abszolútérték-függvénynek.

Transzformációk: Az alakzatok és pozíciók megváltoztatása

Az $f(x) = |x|$ alapfüggvény grafikonját különféle transzformációkkal (eltolás, tükrözés, nyújtás/zsugorítás) módosíthatjuk. Ezek a transzformációk lehetővé teszik, hogy összetettebb abszolútérték-függvények grafikonjait is könnyedén fel tudjuk rajzolni.

Függőleges eltolás

Egy függőleges eltolás azt jelenti, hogy a grafikon "fel- vagy lefelé" mozdul el. Ezt úgy érjük el, hogy hozzáadunk vagy elveszünk egy konstans értéket a függvény kimeneti értékéhez.

Az általános alak: $g(x) = |x| + c$

• Ha $c > 0$, a grafikon $c$ egységgel felfelé tolódik el. A "töréspont" a $(0, c)$ pontba kerül.
• Ha $c < 0$, a grafikon $|c|$ egységgel lefelé tolódik el. A "töréspont" a $(0, c)$ pontba kerül.

Példa: $g(x) = |x| + 2$. A grafikon az $f(x)=|x|$ grafikonjához képest 2 egységgel felfelé tolódik el. A töréspont a $(0,2)$ pontban lesz.

Vízszintes eltolás

A vízszintes eltolás azt jelenti, hogy a grafikon "balra vagy jobbra" mozdul el. Ezt úgy érjük el, hogy a bemeneti változó ($x$) helyére egy eltolt változót írunk.

Az általános alak: $h(x) = |x – d|$

• Ha $d > 0$, a grafikon $d$ egységgel jobbra tolódik el. A "töréspont" a $(d, 0)$ pontba kerül.
• Ha $d < 0$, a grafikon $|d|$ egységgel balra tolódik el. A "töréspont" a $(d, 0)$ pontba kerül.

Példa: $h(x) = |x – 3|$. A grafikon az $f(x)=|x|$ grafikonjához képest 3 egységgel jobbra tolódik el. A töréspont a $(3,0)$ pontban lesz.

Kombinált transzformációk

Gyakran előfordul, hogy több transzformációt alkalmazunk egyszerre. Az általános alak ebben az esetben a következő lehet:

$k(x) = a|x – d| + c$

Itt az $a$ tényező a függőleges nyújtást vagy zsugorítást (és esetleges tükrözést a tengelyre), a $d$ a vízszintes eltolást, a $c$ pedig a függőleges eltolást jelöli. A "töréspont" (vagy csúcs) mindig a $(d, c)$ pontban lesz.

• Ha $a > 1$, a grafikon függőlegesen megnyúlik.
• Ha $0 < a < 1$, a grafikon függőlegesen összenyomódik.
• Ha $a < 0$, a grafikon függőlegesen megnyúlik (vagy összenyomódik) és tükröződik az $x$-tengelyre, így lefelé nyíló V-alakot kapunk.

Fontos megjegyzés: A transzformációk sorrendje is számíthat, különösen, ha szorzás és összeadás is szerepel a képletben. Az abszolútérték-függvény esetében általában a zárójelben lévő műveletek (vízszintes eltolás, esetleg nyújtás/zsugorítás) történnek meg először, majd az abszolútérték képzése, végül a külső műveletek (függőleges eltolás, nyújtás/zsugorítás).

A grafikon jellemzői és elemei

Az abszolútérték-függvény grafikonjának megértésekor fontos ismerni néhány alapvető jellemzőt és elemet. Ezek segítenek a grafikonok gyors elemzésében és értelmezésében.

A "töréspont" vagy csúcs

Az abszolútérték-függvény grafikonjának legfontosabb pontja az, ahol a két sugár találkozik. Ezt nevezzük "töréspontnak" vagy "csúcsnak". Ez a pont jelöli a függvény lokális minimumát (ha a V-alak felfelé nyílik) vagy maximumát (ha lefelé nyílik).

Az $f(x) = |x|$ esetében a töréspont az origóban, a $(0,0)$ pontban van.

Az általános alaknál, $k(x) = a|x – d| + c$, a töréspont mindig a $(d, c)$ koordinátákban található. Ez azért van, mert az abszolútérték $0$ lesz, amikor $x – d = 0$, azaz $x = d$. Ekkor a függvény értéke $a \cdot 0 + c = c$.

A monotonitási szakaszok

Az abszolútérték-függvény grafikonja két, egymással ellentétes irányban monoton szakaszt tartalmaz.

• A törésponttól balra eső szakaszon a függvény vagy csökken, vagy növekszik.
• A törésponttól jobbra eső szakaszon pedig az ellenkező monotonitás figyelhető meg.

Például az $f(x) = |x|$ esetén:

• A $(-\infty, 0)$ intervallumon a függvény csökkenő. Ahogy az $x$ növekszik (balról jobbra haladva), az $|x|$ értéke csökken (pl. $|-3|=3$, $|-2|=2$).
• A $(0, \infty)$ intervallumon a függvény növekvő. Ahogy az $x$ növekszik, az $|x|$ értéke is növekszik (pl. $|2|=2$, $|3|=3$).

A tengelymetszetek

• Y-tengely metszéspont: Az y-tengely metszéspontja mindig ott van, ahol $x=0$. Az abszolútérték-függvény általános alakjánál, $k(x) = a|x – d| + c$, ez az érték $k(0) = a|0 – d| + c = a|d| + c$. Kivéve, ha a töréspont az y-tengelyen van (azaz $d=0$), akkor az y-tengely metszéspont maga a töréspont $y$-koordinátája, $c$.
• X-tengely metszéspontok: Ezek azok a pontok, ahol a függvény értéke $0$, azaz $k(x) = 0$. Ezt úgy kapjuk, hogy $a|x – d| + c = 0$. Ha $a \neq 0$, akkor $|x – d| = -c/a$.
  • Ha $-c/a > 0$, két megoldás van: $x – d = -c/a$ és $x – d = -(-c/a)$. Tehát $x = d – c/a$ és $x = d + c/a$.
  • Ha $-c/a = 0$, egy megoldás van: $x = d$. Ez akkor történik, amikor a töréspont az x-tengelyen van.
  • Ha $-c/a < 0$, nincs valós megoldás, a grafikon nem metszi az x-tengelyt.

A szimmetria

Az $f(x) = |x|$ függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre, mivel $|-x| = |x|$. Ez azt jelenti, hogy az y-tengely "tükörként" működik.

Más abszolútérték-függvények, mint például $k(x) = a|x – d| + c$, már nem feltétlenül szimmetrikusak az y-tengelyre. A szimmetria tengelyük a töréspontot átvezető függőleges egyenes, azaz az $x = d$ egyenes.

Fontos megjegyzés: A grafikon "V" alakja nem mindig tökéletes lehet egyenesekből áll. Ha az abszolútértéken belül is van valamilyen lineáris függvény (pl. $|x+1| – |2x-3|$), akkor a grafikon "töréspontjai" és irányváltásai összetettebbek lehetnek, nem csak egyetlen töréspontja lesz.

Példák és alkalmazások

Az abszolútérték-függvény nem csupán elméleti fogalom, hanem számos gyakorlati területen alkalmazható. Lássunk néhány példát, amelyek szemléltetik a függvény grafikus ábrázolásának fontosságát.

Példa 1: Egyszerű eltolt függvény

Ábrázoljuk az $f(x) = |x – 2| + 1$ függvényt.

1. Azonosítsuk a transzformációkat:
   • $x – 2$: ez egy vízszintes eltolást jelent 2 egységgel jobbra.
   • $+ 1$: ez egy függőleges eltolást jelent 1 egységgel felfelé.
2. Találjuk meg a töréspontot: Az $x – 2 = 0$ akkor teljesül, ha $x = 2$. Az $f(x)$ értéke ekkor $0 + 1 = 1$. Tehát a töréspont a $(2, 1)$ pontban van.
3. Rajzoljuk meg a V-alakot: A törésponttól indulva rajzoljuk meg a két sugarat. Mivel az abszolútérték előtt nincs negatív előjel, a V felfelé nyílik.
   • Néhány pont jobboldalon:
     • Ha $x=3$, $f(3) = |3-2|+1 = |1|+1 = 1+1 = 2$. Pont: $(3, 2)$.
     • Ha $x=4$, $f(4) = |4-2|+1 = |2|+1 = 2+1 = 3$. Pont: $(4, 3)$.
   • Néhány pont baloldalon:
     • Ha $x=1$, $f(1) = |1-2|+1 = |-1|+1 = 1+1 = 2$. Pont: $(1, 2)$.
     • Ha $x=0$, $f(0) = |0-2|+1 = |-2|+1 = 2+1 = 3$. Pont: $(0, 3)$.
4. Ellenőrizzük a tengelymetszeteket:
   • Y-tengely metszéspont: $f(0) = 3$. Tehát $(0, 3)$.
   • X-tengely metszéspontok: $f(x) = 0 \implies |x-2|+1 = 0 \implies |x-2| = -1$. Mivel az abszolútérték nem lehet negatív, ebben az esetben nincs x-tengely metszéspont. Ez összhangban van a törésponttal, ami $(2,1)$ pontban van, az x-tengely fölött.

Példa 2: Tükrözött és nyújtott függvény

Ábrázoljuk az $f(x) = -2|x + 1|$ függvényt.

1. Azonosítsuk a transzformációkat:
   • $|x+1|$: ez az alapfüggvény balra tolódik 1 egységgel ($d=-1$).
   • $-2$: ez egy függőleges nyújtást jelent 2-szeresére, és egy tükrözést az x-tengelyre a negatív előjel miatt. A V-alak lefelé fog nyílni.
2. Találjuk meg a töréspontot: Az $x+1 = 0$ akkor teljesül, ha $x = -1$. Az $f(x)$ értéke ekkor $-2 \cdot 0 = 0$. Tehát a töréspont a $(-1, 0)$ pontban van. Ez egyben az x-tengely metszéspont is.
3. Rajzoljuk meg a V-alakot: A törésponttól indulva rajzoljuk meg a két sugarat. Mivel az előtétes együttható -2, a V lefelé nyílik, és meredekebb lesz az alapfüggvényhez képest.
   • Néhány pont jobboldalon:
     • Ha $x=0$, $f(0) = -2|0+1| = -2|1| = -2 \cdot 1 = -2$. Pont: $(0, -2)$. (Ez az y-tengely metszéspont is.)
     • Ha $x=1$, $f(1) = -2|1+1| = -2|2| = -2 \cdot 2 = -4$. Pont: $(1, -4)$.
   • Néhány pont baloldalon:
     • Ha $x=-2$, $f(-2) = -2|-2+1| = -2|-1| = -2 \cdot 1 = -2$. Pont: $(-2, -2)$.
     • Ha $x=-3$, $f(-3) = -2|-3+1| = -2|-2| = -2 \cdot 2 = -4$. Pont: $(-3, -4)$.
4. Ellenőrizzük a tengelymetszeteket:
   • Y-tengely metszéspont: $f(0) = -2$. Tehát $(0, -2)$.
   • X-tengely metszéspontok: Láttuk, hogy a töréspont a $(-1, 0)$ pontban van, ami az x-tengelyen fekszik. Tehát csak egy x-tengely metszéspont van: $(-1, 0)$.

Alkalmazások a valóságban

Az abszolútérték-függvény és grafikonja nem csak matematika órán hasznos. Íme néhány terület, ahol megjelenhet:

• Logisztika és szállítás: Egy ponttól való távolság meghatározása, függetlenül az iránytól. Például egy raktártól induló teherautók útvonalának optimalizálása.
• Távolságmérés: GPS rendszerek, térképek, navigáció. A két pont közötti távolság kiszámítása.
• Hibaanalízis: Egy mért érték és a tényleges, ideális érték közötti eltérés nagyságának meghatározása. Például egy műszer pontosságának mérése.
• Elektronika: Jelek amplitúdójának vizsgálata.
• Fizika: Többek között a sebesség nagyságának (a sebességvektor hossza, ami a sebesség abszolútértéke) meghatározása.
• Költség- és nyereségmodellek: Bizonyos pontokig a veszteség, azután a nyereség vizsgálata.

Függvény típusa	Általános alak	Töréspont helye	Grafikon iránya
Alap abszolútérték-függvény	$f(x) =	x	$
Függőlegesen eltolt	$f(x) =	x	+ c$
Vízszintesen eltolt	$f(x) =	x – d	$
Nyújtott/zsugorított	$f(x) = a	x	, a>0$
Tükrözött (x-tengelyre)	$f(x) = –	x	$
Kombinált transzformációk	$f(x) = a	x – d	+ c$

A grafikus ábrázolás megkönnyíti ezen alkalmazások megértését, mivel vizuálisan jeleníti meg a függvény viselkedését és a különböző paraméterek hatását a grafikonra.

Fontos megjegyzés: A valós világbeli problémák modellezésekor gyakran az abszolútérték-függvény grafikonjának csak egy bizonyos tartományát vizsgáljuk, mert a valós körülmények korlátozzák a lehetséges értékeket.

Gyakorlati tippek az abszolútérték-függvény grafikonjának ábrázolásához

Az abszolútérték-függvények grafikonjainak rajzolása nem ördöngösség, ha követjük a logikus lépéseket. Íme néhány praktikus tanács, amelyek segítenek a folyamatban:

• Kezdd az alapfüggvénnyel: Mindig gondolj az $f(x) = |x|$ alapfüggvény V-alakú grafikonjára, amely az origóból indul és felfelé nyílik. Ez lesz a kiindulópontod.
• Azonosítsd a töréspontot: Az $a|x – d| + c$ alakban a legfontosabb lépés a töréspont $(d, c)$ meghatározása. Ez lesz az új "origó" a te függvényed számára. Írd fel a koordinátákat és jelöld be a grafikonon.
• Határozd meg a V-alak irányát és meredekségét:
  • Ha $a > 0$, a V felfelé nyílik.
  • Ha $a < 0$, a V lefelé nyílik.
  • A $|a|$ értéke megadja a meredekséget. Minél nagyobb $|a|$, annál "keskenyebb" a V. Minél közelebb van $|a|$ a 0-hoz (de nem 0), annál "szélesebb" a V.
• Használj néhány pontot: A töréspont mellett rajzolj még néhány pontot a függvény grafikonjára, mindkét irányba elhaladva a törésponttól. Ezt úgy teheted meg, hogy behelyettesítesz $x$ értékeket a $d$-től jobbra és balra. Például rajzolhatsz egy pontot, ahol $x = d+1$ és egyet, ahol $x = d-1$.
• Számolj a zárójelben lévő műveletekkel: Ha a függvénynek van vízszintes eltolása ($d \neq 0$), akkor az $x$-tengelyen a $d$ pont lesz az elfordulás. Például az $|x-3|$ a 3-nál fordul, az $|x+5|$ pedig a $-5$-nél.
• Képzeld el a tükrözést: Ha negatív előjel van az abszolútérték előtt (például $-|x|$), akkor a standard felfelé nyíló V-alak tükröződik az x-tengelyre, és lefelé nyílóvá válik.
• Légy óvatos a sorrenddel: Ha a függvény összetettebb, figyelj a műveletek sorrendjére. Általában a belső műveletek (zárójelben levők) történnek meg először.
• Használj sablont (opcionális): Ha gyakran rajzolsz abszolútérték-függvényeket, egy kis sablon vagy minta segíthet a meredekség és az eltolások gyorsabb felismerésében.
• Ellenőrizd a tengelymetszeteket: Az y-tengely metszéspontja (amikor $x=0$) és az x-tengely metszéspontjai (amikor $f(x)=0$) jó ellenőrzőpontok lehetnek.

Példa a pontok használatára:
Ábrázoljuk az $f(x) = 3|x – 1| + 2$ függvényt.

1. Töréspont: $(1, 2)$. Jelöljük be.
2. Irány: $a=3 > 0$, felfelé nyílik.
3. Meredekség: $|a|=3$.
4. Pontok:
   • Vegyünk $x=2$ (eggyel jobbra a törésponttól): $f(2) = 3|2-1| + 2 = 3|1| + 2 = 3 + 2 = 5$. Pont: $(2, 5)$.
   • Vegyünk $x=0$ (eggyel balra a törésponttól): $f(0) = 3|0-1| + 2 = 3|-1| + 2 = 3 + 2 = 5$. Pont: $(0, 5)$.
5. Ezek a pontok segítenek a V-alak helyes megrajzolásában a töréspontból kiindulva.

Fontos megjegyzés: A kézi rajzolás mellett a digitális eszközök, mint a grafikonrajzoló programok, rendkívül hasznosak lehetnek az abszolútérték-függvények viselkedésének vizuális ellenőrzésére és mélyebb megértésére.

Gyakran Ismételt Kérdések

Mi az abszolútérték-függvény grafikonjának legjellegzetesebb formája?

A legegyszerűbb abszolútérték-függvény, az $f(x) = |x|$, egy jellegzetes V-alakú grafikonnal rendelkezik, amelynek csúcsa az origóban, a $(0,0)$ pontban található, és felfelé nyílik.

Hogyan befolyásolja a grafikon alakját az abszolútérték előtt álló szorzó?

Az abszolútérték előtti $a$ szorzó megváltoztatja a V-alak meredekségét. Ha $|a| > 1$, a V "keskenyebb", meredekebb lesz. Ha $0 < |a| < 1$, a V "szélesebb", laposabb lesz. Ha $a < 0$, a V az x-tengelyre tükröződik, így lefelé nyílik.

Mi a "töréspont" szerepe az abszolútérték-függvény grafikonján?

A töréspont (vagy csúcs) az a pont, ahol a grafikon irányt vált, és ahol a függvény eléri a lokális minimumát (ha felfelé nyílik) vagy maximumát (ha lefelé nyílik). Az általános alak $a|x – d| + c$ esetében a töréspont a $(d, c)$ pontban van.

Hogyan tudom eltolni az abszolútérték-függvény grafikonját?

A grafikon eltolható függőlegesen és vízszintesen. A függőleges eltolást a függvény végére hozzáadott $c$ érték ($|x| + c$) végzi el. A vízszintes eltolást a változó módosításával érjük el ($|x – d|$). Ha $d > 0$, jobbra tolódik; ha $d < 0$, balra tolódik.

Van-e mindig két x-tengely metszéspontja egy abszolútérték-függvénynek?

Nem mindig. Az abszolútérték-függvénynek lehet nulla, egy vagy két x-tengely metszéspontja is. Ez attól függ, hogy a töréspont hol helyezkedik el az x-tengelyhez képest, és hogy a V-alak felfelé vagy lefelé nyílik-e. Ha a töréspont az x-tengelyen van, és a V felfelé nyílik, akkor csak egy metszéspont van. Ha a töréspont az x-tengely fölött van és a V felfelé nyílik, nincs metszéspont. Ha a V lefelé nyílik, általában két metszéspont várható, kivéve, ha a töréspont éppen az x-tengelyen van.

Miért fontos az abszolútérték-függvény grafikus ábrázolása?

A grafikus ábrázolás segít vizuálisan megérteni a függvény viselkedését, a különböző paraméterek (eltolás, nyújtás, tükrözés) hatását a grafikonra, és könnyebben azonosítani a fontos jellemzőket, mint a töréspont, a monotonitási szakaszok és a tengelymetszetek. Emellett elengedhetetlen a valós világbeli problémák modellezésében és megoldásában.