Két pont által meghatározott egyenes egyenlete

Amikor a matematika világában elmerülünk, gyakran találkozunk olyan fogalmakkal, amelyek látszólag egyszerűek, mégis mélyebb megértést igényelnek. Az egyik ilyen alapvető téma a geometria, azon belül is az egyenesek vizsgálata. Az egyenesek a tér alapvető építőkövei, és megértésük kulcsfontosságú számtalan más matematikai és természettudományi területen. Az egyenesek sokféleképpen jellemezhetők, de talán az egyik legintuitívabb és leggyakrabban használt módszer az, ha két pontot adunk meg, amelyek egyértelműen meghatározzák az adott egyenest.

Ez a megközelítés azért is olyan különleges, mert összekapcsolja a vizuális geometriát az algebrai leírással. Elképzelhetünk két pontot a síkon vagy a térben, és egyenesen következik, hogy van egyetlen olyan egyenes, amely mindkettőn áthalad. De hogyan fejezzük ki ezt az egyenest matematikai nyelven? Ezen az úton haladva felfedezzük az egyenes egyenletének különböző formáit, mint például a normálvektoros egyenlet, a kétpontos alak, az általános alak, vagy a segmentális alak. Mindegyik forma más-más szempontból világít rá az egyenes tulajdonságaira, és alkalmazkodik a különböző problémákhoz.

Aztán pedig jön a java: hogyan használjuk ezt az elméleti tudást a gyakorlatban? A két pont által meghatározott egyenes egyenletének ismerete nem csak elvont matematikai feladatok megoldásához segít hozzá, hanem praktikus alkalmazásokban is megjelenik, a grafikai tervezéstől kezdve a mérnöki számításokon át egészen a fizikai folyamatok modellezéséig. Megtanulunk majd különféle módszereket, amelyekkel könnyedén felírhatjuk, ábrázolhatunk és elemezhetjük az egyeneseket, pusztán két pontjuk ismeretében.

Az egyenes meghatározása két pont alapján

Az euklideszi geometriában két különálló pont mindig egyértelműen meghatároz egy egyenest. Ez azt jelenti, hogy ha van két pontunk, mondjuk $P_1$ és $P_2$, akkor pontosan egy olyan egyenes létezik, amely mindkettőn áthalad. Ez az alapvető axióma a síkbeli és a térbeli geometria számára is érvényes.

Az egyenes egyenletének szükségessége

Miért van szükségünk egyenes egyenletére, ha már két pont is meghatározza az egyenest? Az egyenlet egy algebrai leírását adja az egyenesnek, lehetővé téve számunkra, hogy:

• Pontokat ellenőrizzünk, hogy rajta vannak-e az egyenesen.
• Kiszámítsuk az egyenes különböző tulajdonságait (pl. hajlásszöge, távolsága más pontoktól).
• Meghatározzuk más geometriai alakzatokkal való metszéspontjait.
• Ábrázoljuk az egyenest koordináta-rendszerben.
• Algoritmikusan kezeljük az egyeneseket számítógépes grafika vagy más alkalmazások során.

Különböző nézőpontok az egyenes leírására

Az egyenes leírására többféle egyenlet létezik, amelyek mind azonos egyenest írnak le, de más-más matematikai megfogalmazásban. Ez a sokféleség lehetővé teszi, hogy a legmegfelelőbb eszközt válasszuk a feladat megoldásához. A két pont által meghatározott egyenes kapcsán leggyakrabban a következő alakokkal találkozunk:

1. Kétpontos alak: Ez a legközvetlenebb módja az egyenes leírásának, amikor két adott pontot használunk fel.
2. Általános alak: Ez egy univerzális forma, amely bármilyen egyenest le tud írni, és könnyen felhasználható metszéspontok keresésére.
3. Normálvektoros alak: Ez a forma kiemeli az egyenes normálvektorát, ami hasznos a pont-egyenes távolság kiszámításánál.
4. Segmentális alak (Fázis alak): Ez az alak akkor hasznos, ha az egyenes tengelyekkel alkotott szakaszait akarjuk vizsgálni.

A továbbiakban ezeket a formákat részletesen is megvizsgáljuk, és bemutatjuk, hogyan jutunk el hozzájuk, illetve hogyan használhatjuk őket gyakorlati példákon keresztül.

Az egyenes kétpontos alakja

A legtermészetesebb kiindulópont, amikor két pont, $P_1(x_1, y_1)$ és $P_2(x_2, y_2)$ ismert síkbeli koordinátákkal, az egyenes kétpontos alakjának felírása. Ennek lényege, hogy kihasználjuk azt a tényt, hogy az egyenes minden pontjára érvényes, hogy az $P_1$ ponthoz viszonyított helyvektora, valamint az $P_1$ és $P_2$ pontokon átfektetett vektor (az egyenes irányvektora) párhuzamosak.

A vektoros megközelítés

Legyen az egyenes egy tetszőleges $P(x, y)$ pontja. Az $P_1$ ponthoz viszonyított helyvektor $\vec{P_1P} = (x-x_1, y-y_1)$. Az $P_1$ és $P_2$ pontokon átfektetett irányvektor pedig $\vec{v} = \vec{P_1P_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1)$.

Mivel a $\vec{P_1P}$ és $\vec{P_1P_2}$ vektorok párhuzamosak, létezik egy $t$ valós szám (paraméter), amelyre igaz, hogy:

$$ \vec{P_1P} = t \cdot \vec{P_1P_2} $$

Felírva ezt a koordinátákra:

$$ (x-x_1, y-y_1) = t \cdot (x_2-x_1, y_2-y_1) $$

Ez két külön egyenletet ad:

$$ x – x_1 = t (x_2 – x_1) $$
$$ y – y_1 = t (y_2 – y_1) $$

Ezekből a $t$ paramétert kifejezve (feltéve, hogy $x_1 \neq x_2$ és $y_1 \neq y_2$):

$$ t = \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} $$
$$ t = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} $$

Mivel mindkét kifejezés $t$-vel egyenlő, ezért az egyenest a következő formában írhatjuk fel:

$$ \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} $$

Ez a kétpontos alak. Fontos megjegyezni, hogy ez az alak akkor is érvényes, ha $x_1 = x_2$ (függőleges egyenes) vagy $y_1 = y_2$ (vízszintes egyenes), csak ekkor az egyik törtet úgy kell értelmezni, hogy a nevező és a számláló is nulla, vagy a megfelelő változó nem szerepel az egyenletben. Ha például $x_1 = x_2$, akkor az egyenes egyenlete $x = x_1$. Ha $y_1 = y_2$, akkor $y = y_1$.

A meredekség fogalma

A kétpontos alakból könnyen levezethető a meredekség fogalma. A meredekség, jelölje $m$, megadja, hogy az egyenes egy egységnyit vízszintesen haladva mennyit emelkedik vagy süllyed függőlegesen.

A kétpontos alakból kifejezve az egyik változót a másik szerint:

$$ y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} (x – x_1) $$

Itt a $\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$ kifejezés az egyenes meredeksége:

$$ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} $$

Ez az összefüggés csak akkor értelmezhető, ha $x_1 \neq x_2$. Ha $x_1 = x_2$, akkor az egyenes függőleges, és a meredeksége nem véges (vagy mondhatjuk, hogy végtelen).

Példa

Írjuk fel annak az egyenesnek a kétpontos alakját, amely átmegy a $P_1(2, 3)$ és $P_2(5, 9)$ pontokon.

Használjuk a kétpontos alakot:

$$ \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} $$

Behelyettesítve a pontok koordinátáit:

$$ \frac{x – 2}{5 – 2} = \frac{y – 3}{9 – 3} $$
$$ \frac{x – 2}{3} = \frac{y – 3}{6} $$

Ez az egyenes kétpontos alakja. A meredekség: $m = \frac{9-3}{5-2} = \frac{6}{3} = 2$.

Fontos megjegyzés:

A két pont által meghatározott egyenes egyenletének kétpontos alakja egy rendkívül intuitív megközelítés, amely közvetlenül ragadja meg a pontok közötti kapcsolatot, és alapul szolgál a meredekség fogalmának megértéséhez.

Az egyenes általános alakja

Az általános alakja egy egyenesnek a következő formában írható fel:

$$ Ax + By + C = 0 $$

ahol $A$, $B$, és $C$ valós számok, és nem mindannyian nullák egyszerre ($A \neq 0$ vagy $B \neq 0$). Ez az alak nagyon hasznos, mert minden egyenest (függetlenül attól, hogy vízszintes, függőleges vagy ferde) egységes formában tud leírni.

Hogyan jutunk el az általános alakhoz?

Az általános alakhoz a kétpontos alakból vagy a meredekség-metszéspont alakból is eljuthatunk. Vegyük például a kétpontos alakot:

$$ \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} $$

Szorozzunk be keresztbe (feltételezve, hogy a nevezők nem nullák):

$$ (x – x_1)(y_2 – y_1) = (y – y_1)(x_2 – x_1) $$

Bontsuk fel a zárójeleket:

$$ x(y_2 – y_1) – x_1(y_2 – y_1) = y(x_2 – x_1) – y_1(x_2 – x_1) $$

Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy minden tag az egyik oldalra kerüljön, az általános alaknak megfelelően:

$$ (y_2 – y_1)x – (x_2 – x_1)y – x_1(y_2 – y_1) + y_1(x_2 – x_1) = 0 $$

Ebben az egyenletben:

• $A = y_2 – y_1$
• $B = -(x_2 – x_1) = x_1 – x_2$
• $C = -x_1(y_2 – y_1) + y_1(x_2 – x_1) = -x_1y_2 + x_1y_1 + y_1x_2 – y_1x_1 = y_1x_2 – x_1y_2$

Tehát az általános alak:
$$ (y_2 – y_1)x + (x_1 – x_2)y + (y_1x_2 – x_1y_2) = 0 $$

Vegye figyelembe, hogy ha $x_1 = x_2$, akkor $A = y_2 – y_1$ és $B = 0$. Az egyenlet így $(y_2 – y_1)x + (y_1x_2 – x_1y_2) = 0$. Mivel $x_1=x_2$, ez $(y_2 – y_1)x + (y_1x_1 – x_1y_2) = 0$. Ha $y_1 \neq y_2$, akkor oszthatunk $(y_2 – y_1)$-gyel, és $x + \frac{y_1x_1 – x_1y_2}{y_2-y_1} = 0$. Ez nem stimmel.

Nézzük meg újra a függőleges esetet ($x_1 = x_2$). Az egyenes egyenlete $x = x_1$. Átrendezve: $1 \cdot x + 0 \cdot y – x_1 = 0$. Tehát $A=1, B=0, C=-x_1$. Ez illeszkedik az általános alakba. A fent levezetett képletben, ha $x_1=x_2$, akkor $A = y_2 – y_1$, $B = 0$. A $C$ tag: $-x_1(y_2-y_1) + y_1(x_1-x_1) = -x_1(y_2-y_1)$. Az egyenlet: $(y_2 – y_1)x – x_1(y_2 – y_1) = 0$. Ha $y_1 \neq y_2$, oszthatunk $(y_2-y_1)$-gyel: $x – x_1 = 0$, ami $x = x_1$. Tehát működik!

Hasonlóan, ha $y_1 = y_2$ (vízszintes egyenes), akkor az egyenes $y = y_1$. Az általános alak: $0 \cdot x + 1 \cdot y – y_1 = 0$. Itt $A=0, B=1, C=-y_1$. A levezetett képletben: $A = y_1 – y_1 = 0$, $B = x_1 – x_2$. $C = y_1x_2 – x_1y_1$. Az egyenlet: $(x_1 – x_2)y + (y_1x_2 – x_1y_1) = 0$. Ha $x_1 \neq x_2$, oszthatunk $(x_1 – x_2)$-vel: $y + \frac{y_1x_2 – x_1y_1}{x_1-x_2} = 0$. Ez pedig $y + \frac{y_1(x_2-x_1)}{x_1-x_2} = 0$, ami $y – y_1 = 0$, tehát $y = y_1$.

Az általános alak előnyei

• Univerzalitás: Bármilyen egyenest leírhatunk vele.
• Normálvektor: Az egyenes egy normálvektora $\vec{n} = (A, B)$. Ez a vektor merőleges az egyenesre.
• Metszéspontok: Két egyenes metszéspontjának meghatározása két (vagy több) egyenletrendszer megoldását jelenti, amihez az általános alak ideális.
• Távolság: Egy pontnak egy egyenestől való távolságának kiszámítása általános alakból történik.

Példa

Írjuk fel annak az egyenesnek az általános alakját, amely átmegy a $P_1(2, 3)$ és $P_2(5, 9)$ pontokon.

A kétpontos alak:
$$ \frac{x – 2}{3} = \frac{y – 3}{6} $$

Szorozzuk be keresztbe:
$$ 6(x – 2) = 3(y – 3) $$
$$ 6x – 12 = 3y – 9 $$

Rendezzük az egyenletet az általános alaknak megfelelően:
$$ 6x – 3y – 12 + 9 = 0 $$
$$ 6x – 3y – 3 = 0 $$

Oszthatunk 3-mal a legegyszerűbb alak eléréséhez:
$$ 2x – y – 1 = 0 $$

Ez az egyenes általános alakja. A normálvektora $\vec{n} = (2, -1)$.

Fontos megjegyzés:

Az általános alak $Ax + By + C = 0$ megadja az egyenes többféle tulajdonságát is: a normálvektora $(A, B)$, és a meredeksége $-A/B$ (ha $B \neq 0$).

A normálvektoros egyenlet

A normálvektoros egyenlet egy másik fontos módszer az egyenes leírására, különösen térbeli geometriában vagy amikor az egyenes normális iránya kiemelten fontos. Az elv az, hogy egy egyenes azonosítható egy pontjával, amelyen áthalad, és egy vektorral, amely merőleges rá (normálvektor).

A koncepció

Legyen az egyenes egy $P_0(x_0, y_0)$ ponton haladó egyenes, és legyen $\vec{n} = (A, B)$ a normálvektora. Egy tetszőleges $P(x, y)$ pont akkor és csak akkor van az egyenesen, ha a $\vec{P_0P}$ helyvektor merőleges a $\vec{n}$ normálvektorra.

Két vektor akkor merőleges, ha a skaláris szorzatuk nulla. A $\vec{P_0P}$ vektor a következő:

$$ \vec{P_0P} = (x – x_0, y – y_0) $$

A skaláris szorzatuk:

$$ \vec{P_0P} \cdot \vec{n} = 0 $$
$$ (x – x_0, y – y_0) \cdot (A, B) = 0 $$

Felírva a skaláris szorzatot koordinátákra:

$$ A(x – x_0) + B(y – y_0) = 0 $$

Ez a normálvektoros egyenlet. Ha ezt az egyenletet kibontjuk, visszakapjuk az általános alakot:

$$ Ax – Ax_0 + By – By_0 = 0 $$
$$ Ax + By + (-Ax_0 – By_0) = 0 $$

Itt $C = -Ax_0 – By_0$. Tehát az általános alak egy specifikus esete a normálvektoros egyenletnek, ahol megadtunk egy pontot, amin az egyenes áthalad, és a normálvektorát.

Hogyan jutunk el a normálvektorhoz két pontból?

Ha az egyenes két pontja $P_1(x_1, y_1)$ és $P_2(x_2, y_2)$, akkor az egyenes irányvektora $\vec{v} = \vec{P_1P_2} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)$. Egy normálvektor mindig merőleges az irányvektorra. Síkbeli geometriában, ha $\vec{v} = (v_x, v_y)$, akkor egy vele merőleges vektor $\vec{n} = (-v_y, v_x)$ vagy $\vec{n} = (v_y, -v_x)$.

Tehát, az irányvektor $\vec{v} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)$.
Egy lehetséges normálvektor: $\vec{n} = (-(y_2 – y_1), x_2 – x_1) = (y_1 – y_2, x_2 – x_1)$.
Itt $A = y_1 – y_2$ és $B = x_2 – x_1$.

Egy másik lehetséges normálvektor: $\vec{n} = (y_2 – y_1, -(x_2 – x_1)) = (y_2 – y_1, x_1 – x_2)$.
Itt $A = y_2 – y_1$ és $B = x_1 – x_2$.

Láthatjuk, hogy ezek az együtthatók megegyeznek az általános alak levezetésénél kapottakkal, ami megerősíti a kapcsolatot. Az egyenesen lévő pontnak választhatjuk bármelyik megadott pontot, például $P_1(x_1, y_1)$ legyen a $P_0$.

Tehát, a normálvektoros egyenlet, két pont $P_1(x_1, y_1)$ és $P_2(x_2, y_2)$ segítségével, a következő:

$$ (y_1 – y_2)(x – x_1) + (x_2 – x_1)(y – y_1) = 0 $$

vagy az (x_1-x_2), (y_2-y_1) normálvektorral:

$$ (y_2 – y_1)(x – x_1) + (x_1 – x_2)(y – y_1) = 0 $$

Ez a két formula ekvivalens, csak a normálvektor irányának ellentétes voltát tükrözik.

Példa

Írjuk fel annak az egyenesnek a normálvektoros egyenletét, amely átmegy a $P_1(2, 3)$ és $P_2(5, 9)$ pontokon.
Válasszuk $P_0 = P_1(2, 3)$.
Az irányvektor $\vec{v} = (5-2, 9-3) = (3, 6)$.
Egy normálvektor: $\vec{n} = (-6, 3)$.
A normálvektoros egyenlet:
$$ -6(x – 2) + 3(y – 3) = 0 $$
$$ -6x + 12 + 3y – 9 = 0 $$
$$ -6x + 3y + 3 = 0 $$
Oszthatunk -3-mal:
$$ 2x – y – 1 = 0 $$
Ez megegyezik az általános alakból kapott eredménnyel.

Ha a másik normálvektort választjuk: $\vec{n} = (6, -3)$.
$$ 6(x – 2) – 3(y – 3) = 0 $$
$$ 6x – 12 – 3y + 9 = 0 $$
$$ 6x – 3y – 3 = 0 $$
Oszthatunk 3-mal:
$$ 2x – y – 1 = 0 $$
Ugyanazt az eredményt kapjuk.

Fontos megjegyzés:

A normálvektoros alak kiemeli az egyenes merőlegességét egy adott vektorra, ami elengedhetetlen a sík és tér geometriájában, különösen távolságkalkulációk és síkokkal való kapcsolat vizsgálata során.

A segmentális alak (Fázis alak)

A segmentális alak, vagy más néven fázis alak, egy speciális eset az egyenesek leírására, amely akkor a legcélszerűbb, ha az egyenes tengelyekkel alkotott szakaszainak hosszát vagy helyét vizsgáljuk. Ez az alak csak olyan egyenesekre használható, amelyek nem haladnak át az origón, és a tengelyeket is vágják.

A koncepció

Legyen az egyenes egy $P(x, y)$ pontja. Az egyenes akkor van segmentális alakban, ha a következő formában írható fel:

$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $$

ahol $a$ az egyenes $x$-tengellyel való metszéspontjának $x$-koordinátája (tehát az egyenes átmegy az $(a, 0)$ ponton), és $b$ az egyenes $y$-tengellyel való metszéspontjának $y$-koordinátája (tehát az egyenes átmegy a $(0, b)$ ponton). Fontos, hogy $a \neq 0$ és $b \neq 0$.

Hogyan jutunk el a segmentális alakhoz két pontból?

Ahhoz, hogy az egyenest segmentális alakban írhassuk fel, először meg kell találnunk az $a$ és $b$ értékeket. Ehhez az általános alak vagy a kétpontos alak segítségével felírhatjuk az egyenest, majd meghatározzuk a tengelymetszéspontokat.

Ha ismerjük a két pontot $P_1(x_1, y_1)$ és $P_2(x_2, y_2)$, felírjuk az egyenest, például általános alakban: $Ax + By + C = 0$.
Az $x$-tengellyel való metszéspont (itt $y=0$):
$$ Ax + C = 0 \implies x = -\frac{C}{A} $$
Tehát $a = -\frac{C}{A}$.

Az $y$-tengellyel való metszéspont (itt $x=0$):
$$ By + C = 0 \implies y = -\frac{C}{B} $$
Tehát $b = -\frac{C}{B}$.

Ezeket behelyettesítve a segmentális alakba:

$$ \frac{x}{-C/A} + \frac{y}{-C/B} = 1 $$
$$ -\frac{Ax}{C} – \frac{By}{C} = 1 $$
$$ -(Ax + By) = C $$
$$ Ax + By + C = 0 $$

Ez újra az általános alakot adja vissza, ami azt jelenti, hogy a segmentális alak valóban az általános alak egy speciális formája.

A feltétel, hogy $a \neq 0$ és $b \neq 0$, azt jelenti, hogy az egyenes nem lehet függőleges ($A=0$) vagy vízszintes ($B=0$). Továbbá, ha $C=0$, az egyenes átmegy az origón, és nem vághatja el a tengelyeket nemnulla szakaszokkal, így segmentális alakban nem írható fel.

Példa

Írjuk fel annak az egyenesnek a segmentális alakját, amely átmegy a $P_1(6, 0)$ és $P_2(0, 4)$ pontokon.

Ebben az esetben a tengelymetszéspontok már adottak:
$a = 6$ (az $x$-tengelyt 6-nál metszi)
$b = 4$ (az $y$-tengelyt 4-nél metszi)

A segmentális alak:
$$ \frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1 $$

Átalakíthatjuk ezt általános alakra is:
Szorozzunk 12-vel (a 6 és 4 legkisebb közös többszörösével):
$$ 2x + 3y = 12 $$
$$ 2x + 3y – 12 = 0 $$
Ez az általános alakja. A normálvektor $(2, 3)$.

Mi van, ha az egyenes átmegy $P_1(2, 3)$ és $P_2(5, 9)$ pontokon?
Az általános alak $2x – y – 1 = 0$.
Itt $A=2, B=-1, C=-1$.
$a = -\frac{C}{A} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$.
$b = -\frac{C}{B} = -\frac{-1}{-1} = -1$.
Tehát a segmentális alak:
$$ \frac{x}{1/2} + \frac{y}{-1} = 1 $$
$$ 2x – y = 1 $$
$$ 2x – y – 1 = 0 $$
Ez helyes. Megjegyzendő, hogy $a$ és $b$ nem feltétlenül egész számok, és negatívak is lehetnek.

Fontos megjegyzés:

A segmentális alak gyors áttekintést nyújt az egyenes tengelymetszéseiről, ami vizuálisan is könnyen megfoghatóvá teszi az egyenes helyzetét a koordinátarendszerben, de csak az origón át nem haladó, tengelyeket metsző egyenesekre alkalmazható.

Táblázat az egyenesek különböző alakjairól

A következőkben összefoglaljuk az egyenesek legfontosabb alakjait, amelyeket két pont alapján is felírhatunk, kiemelve azok jellemzőit.

Alak típusa	Általános forma	Jellemzők	Mire jó?
Kétpontos alak	$ \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} $	Közvetlen kapcsolat a két megadott ponttal ($P_1, P_2$).	Az alapvető felírás, könnyen átalakítható más alakokká. Meghatározza a meredekséget.
Általános alak	$ Ax + By + C = 0 $	$A, B$ nem mind nulla. $\vec{n} = (A, B)$ normálvektor. Meredekség $m = -A/B$ (ha $B \neq 0$).	Univerzális forma, könnyen kezelhető metszéspontok, távolságok.
Normálvektoros alak	$ A(x – x_0) + B(y – y_0) = 0 $	Az egyenes áthalad $P_0(x_0, y_0)$ ponton, $\vec{n}=(A, B)$ a normálvektora.	Kiemeli az egyenes normális irányát. Térgeometriában is fontos.
Segmentális alak	$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $	Az egyenes az $x$-tengelyt $a$-nál, az $y$-tengelyt $b$-nél metszi. ($a, b \neq 0$, $C \neq 0$ az általános alakban).	Gyorsan megmutatja az egyenes tengelymetszéseit. Csak az origón át nem haladó, tengelyeket metsző egyenesekre.

A két pont megadása és az egyenes egyenletei

Két pont megadása, mint $P_1(x_1, y_1)$ és $P_2(x_2, y_2)$, mindig egyértelműen meghatároz egy egyenest. A feladat, hogy ebből az információból az egyenes különböző matematikai leírásait állítsuk elő.

Lépések a két pontból kiindulva

1. Ellenőrizzük, hogy a két pont különböző-e. Ha egybeesnek, akkor nem határoznak meg egyetlen egyenest.
2. Számítsuk ki az irányvektort: $\vec{v} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)$.
3. Számítsuk ki a meredekséget (ha lehetséges): $m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$. Ha $x_1 = x_2$, az egyenes függőleges. Ha $y_1 = y_2$, az egyenes vízszintes.
4. Írjuk fel a kétpontos alakot: $ \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} $. Ezt használhatjuk kiindulópontként.
5. Alakítsuk át általános alakra: $Ax + By + C = 0$. Ehhez rendezhetjük a kétpontos alakot, vagy használhatjuk az $A = y_2 – y_1$, $B = x_1 – x_2$, $C = y_1x_2 – x_1y_2$ összefüggéseket.
6. Határozzuk meg a normálvektort: $\vec{n} = (A, B)$. Ha akarjuk, felírhatjuk a normálvektoros alakot $A(x – x_1) + B(y – y_1) = 0$.
7. Határozzuk meg a tengelymetszéspontokat (ha $A, B, C \neq 0$): $a = -C/A$, $b = -C/B$. Ebből felírhatjuk a segmentális alakot: $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $.

Példák a különböző alakok használatára

Tekintsük az $A(1, 2)$ és $B(4, 8)$ pontokat.

1. Irányvektor: $\vec{v} = (4-1, 8-2) = (3, 6)$.
2. Meredekség: $m = \frac{8-2}{4-1} = \frac{6}{3} = 2$.
3. Kétpontos alak:
   $ \frac{x – 1}{4 – 1} = \frac{y – 2}{8 – 2} $
   $ \frac{x – 1}{3} = \frac{y – 2}{6} $
4. Általános alak:
   $6(x – 1) = 3(y – 2)$
   $6x – 6 = 3y – 6$
   $6x – 3y = 0$
   Oszthatunk 3-mal: $2x – y = 0$.
   Tehát $A=2, B=-1, C=0$.
5. Normálvektoros alak:
   Mivel $C=0$, az egyenes átmegy az origón. A $P_0$ pontnak választhatjuk az $A(1, 2)$ pontot. A normálvektor $(2, -1)$.
   $2(x – 1) – 1(y – 2) = 0$
   $2x – 2 – y + 2 = 0$
   $2x – y = 0$.
6. Segmentális alak:
   Mivel $C=0$, az egyenes átmegy az origón, így nem írható fel segmentális alakban.

Vegyünk egy másik példát: $C(1, 5)$ és $D(3, 1)$.

1. Irányvektor: $\vec{v} = (3-1, 1-5) = (2, -4)$.
2. Meredekség: $m = \frac{1-5}{3-1} = \frac{-4}{2} = -2$.
3. Kétpontos alak:
   $ \frac{x – 1}{3 – 1} = \frac{y – 5}{1 – 5} $
   $ \frac{x – 1}{2} = \frac{y – 5}{-4} $
4. Általános alak:
   $-4(x – 1) = 2(y – 5)$
   $-4x + 4 = 2y – 10$
   $-4x – 2y + 14 = 0$
   Oszthatunk -2-vel: $2x + y – 7 = 0$.
   Tehát $A=2, B=1, C=-7$.
5. Normálvektoros alak:
   Válasszuk $P_0 = C(1, 5)$. A normálvektor $(2, 1)$.
   $2(x – 1) + 1(y – 5) = 0$
   $2x – 2 + y – 5 = 0$
   $2x + y – 7 = 0$.
6. Segmentális alak:
   $a = -C/A = -(-7)/2 = 7/2$.
   $b = -C/B = -(-7)/1 = 7$.
   $ \frac{x}{7/2} + \frac{y}{7} = 1 $
   $ \frac{2x}{7} + \frac{y}{7} = 1 $
   $2x + y = 7$
   $2x + y – 7 = 0$.

Az alábbi táblázat összehasonlítja a két pont által meghatározott egyenes különböző alakjait a fenti két példa alapján:

Pontok	Kétpontos alak	Általános alak	Normálvektoros alak (egyik lehetőség)	Segmentális alak
$A(1, 2), B(4, 8)$	$ \frac{x – 1}{3} = \frac{y – 2}{6} $	$ 2x – y = 0 $	$ 2(x – 1) – (y – 2) = 0 $	Nem alkalmazható (origón megy át)
$C(1, 5), D(3, 1)$	$ \frac{x – 1}{2} = \frac{y – 5}{-4} $	$ 2x + y – 7 = 0 $	$ 2(x – 1) + (y – 5) = 0 $	$ \frac{x}{7/2} + \frac{y}{7} = 1 $

💡 Fontos szempontok a kiválasztáshoz

Az, hogy melyik alakot érdemes használni, nagymértékben függ a feladat jellegétől.

• Ha csak az egyenes pontos meghatározására van szükségünk, és nincs speciális követelmény, az általános alak a legpraktikusabb, mivel egységes és könnyen kezelhető.
• Ha az egyenes meredekségét, vagy tengelyekkel való viszonyát akarjuk hangsúlyozni, a kétpontos alak vagy a segmentális alak lehet előnyös.
• Ha vektorműveleteket végzünk, vagy térbeli problémákkal foglalkozunk, a normálvektoros alak elengedhetetlen.

Fontos megjegyzés:

Az egyenes különböző alakjai mind ugyanazt a geometriai objektumot írják le, csupán más-más matematikai nyelven és hangsúllyal, így a megfelelő alak kiválasztása segíthet a feladatok hatékonyabb megoldásában.

Gyakori kérdések (GYIK)

Milyen esetekben nem határoz meg két pont egyetlen egyenest?

Két pont pontosan akkor nem határoz meg egyetlen egyenest, ha a két pont azonos. Ha a két pont különböző, akkor mindig pontosan egy egyenes halad át rajtuk.

Mi a különbség a kétpontos alak és az általános alak között?

A kétpontos alak ($ \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} $) közvetlenül a két megadott pontból indul ki, és szemlélteti a pontok közötti arányosságot. Az általános alak ($ Ax + By + C = 0 $) egy univerzálisabb forma, amely minden egyenest le tud írni, és ebből könnyebben leolvashatók az egyenes normálvektora és más tulajdonságai. A kétpontos alak átalakítható általános alakká.

Miért fontos az egyenes normálvektora?

A normálvektor egy olyan vektor, amely merőleges az egyenesre. Ez a tulajdonsága rendkívül hasznos a különböző távolságok kiszámításához (pl. pont-egyenes távolság), az egyenesek egymáshoz való viszonyának vizsgálatához (párhuzamosság, merőlegesség), valamint síkbeli és térbeli geometriai problémák megoldásához. Az általános alak együtthatói ($A, B$) közvetlenül adják meg a normálvektor koordinátáit ($ \vec{n}=(A, B) $).

Mikor nem írható fel egy egyenes segmentális alakban?

Egy egyenes nem írható fel segmentális alakban ($ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $) ha:

• Áthalad az origón ($C=0$ az általános alakban).
• Párhuzamos az egyik tengellyel (függőleges, $B=0$, vagy vízszintes, $A=0$ az általános alakban). Ebben az esetben az egyik tengelymetszéspont (a vagy b) nem értelmezhető véges számként, vagy a nevező nulla lenne.

Hogyan találom meg egy pont és egy egyenes metszéspontját?

Ha az egyenest két pont határozza meg, először fel kell írni az egyenes egyenletét (pl. általános alakban). Ha van egy másik egyenesünk is, amelynek szintén ismert az egyenlete, akkor a két egyenletrendszerként megoldott egyenletrendszer adja meg a metszéspont koordinátáit. Ha csak egy pontunk van, és az egyenes egyenletét ismerjük, egyszerűen behelyettesítjük a pont koordinátáit az egyenes egyenletébe. Ha az egyenlőség teljesül, a pont rajta van az egyenesen. Ha nem, nincs metszéspont.

Milyen szerepet játszik a paraméter 't' a vektoros egyenletben?

A $ \vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{v} $ vektoros egyenletben $ \vec{r_0} $ az egyenes egy tetszőleges pontjának helyvektora, $ \vec{v} $ pedig az egyenes irányvektora. A $t$ paraméter egy valós szám, amely az egyenesen lévő pontok helyvektorait generálja. Ahogy $t$ értéke változik az egész valós számhalmazon, a $ \vec{r} $ helyvektor végigfut az egész egyenesen. A $t=0$ értékhez tartozik a $P_0$ pont, míg más $t$ értékek az egyenes különböző pontjait jelölik ki. Például, ha az egyenes két pontja $P_1$ és $P_2$, akkor az irányvektor lehet $ \vec{v} = \vec{P_1P_2} $, a $P_0$ pont pedig lehet $P_1$. Ekkor $t=1$ esetén a $P_2$ pontot kapjuk meg.