Sokan érezzük úgy, hogy a matematika világa néha túlságosan elvont, tele szabályokkal és képletekkel, amelyeknek látszólag semmi közük a mindennapjainkhoz. Pedig ha jobban megnézzük, a minket körülvevő rend, a természet harmóniája és az építészet stabilitása gyakran olyan alapelveken nyugszik, amelyek megértése nemcsak tudást, hanem egyfajta belső nyugalmat is adhat. A szimmetria, különösen annak középpontra vonatkoztatott formája, éppen ilyen: egyensúlyt teremt a káoszban, és segít átlátni az összefüggéseket ott is, ahol elsőre nem is sejtenénk.
Amikor erről a geometriai transzformációról beszélünk, valójában egy nagyon egyszerű, mégis mélyreható folyamatot vizsgálunk: hogyan képezzük le a világ egy pontját egy másikra egy rögzített centrumon keresztül. Ez a művelet, amit a szaknyelv középponti tükrözésnek nevez, nem csupán egy száraz definíció, hanem egy szemléletmód is. Ebben az írásban nemcsak a "hogyan"-ra, hanem a "miért"-re is keressük a választ, megvizsgálva a témát a papírra vetett szerkesztéstől kezdve a koordináta-rendszeren át egészen a természetben fellelhető példákig.
Célunk, hogy az olvasottak végére ne csak egy iskolai tananyagot láss magad előtt, hanem felismerd a rendszer szépségét. Olyan gyakorlati tudást és szemléletet kaphatsz, amely segít magabiztosabban eligazodni a geometriai feladatokban, legyen szó egyszerű szerkesztésről vagy összetett függvények elemzéséről. Fedezzük fel együtt, hogyan működik ez a tükörjáték, ahol minden pontnak megvan a maga párja a túloldalon.
A geometria alapköveinek megértése és a vizuális látásmód
Mielőtt fejest ugranánk a bonyolultabb összefüggésekbe, érdemes tisztázni, mit is jelent valójában a geometriai transzformáció fogalma. Gondoljunk rá úgy, mint egy szabályrendszerre, amely megmondja, hogy a sík pontjai hová "vándorolnak". A legtöbb esetben, amikor alakzatokat mozgatunk a síkon – eltoljuk, elforgatjuk vagy tükrözzük őket –, valójában egyfajta térképet követünk. A középponti szimmetria esetében ez a térkép rendkívül speciális: minden mozgást egyetlen kitüntetett pont, a szimmetriaközéppont határoz meg.
Ez a fajta leképezés az egybevágósági transzformációk családjába tartozik. Ez a kifejezés talán ijesztően hangzik, de a lényege végtelenül egyszerű: a művelet során az alakzatok mérete és alakja nem változik. Ha tükrözöl egy háromszöget egy pontra, az eredményül kapott háromszög tökéletesen egybevágó lesz az eredetivel. Nem nyúlik meg, nem zsugorodik össze, és a szögei sem torzulnak. Ez a tulajdonság, amit távolságtartásnak is hívunk, a geometria egyik legfontosabb állandója.
"Az egybevágósági transzformációk, így a középponti tükrözés is, megőrzik a pontok közötti távolságot, így a szakaszok hossza és a szögek nagysága a leképezés során változatlan marad."
A vizuális megértéshez érdemes a folyamatot dinamikusan elképzelni. Nem arról van szó, hogy az alakzat "átugrik" a túloldalra, hanem inkább arról, hogy a középpont körül egyfajta "átfordulás" történik. Bár a végeredmény statikus, a gondolatmenet, amely elvezet odáig, tele van mozgással. A geometriai szemlélet fejlesztése éppen abban rejlik, hogy képesek legyünk ezt a mozgást a lelki szemeink előtt lejátszani anélkül, hogy ténylegesen mozgatnánk a tárgyakat.
Hogyan definiálható pontosan a középponti tükrözés
A matematika szépsége a precizitásban rejlik. Bár intuitívan érezzük, mit jelent a "szemben lévő oldal", a pontos definíció segít elkerülni a félreértéseket. Adott a síkon (vagy a térben) egy rögzített pont, amelyet nevezzünk $O$-nak. Ez lesz a tükrözés középpontja, az origónk, a hivatkozási pontunk.
A középponti tükrözés egy olyan hozzárendelés, amely a sík minden $P$ pontjához egy $P'$ képpontot rendel a következő szabályok szerint:
- Ha a $P$ pont megegyezik az $O$ ponttal, akkor a képe önmaga ($P = P'$).
- Ha a $P$ pont nem azonos az $O$ ponttal, akkor a $P'$ pont az $O$ pontra illeszkedő, $P$-ből induló félegyenesen helyezkedik el, mégpedig úgy, hogy az $O$ pont felezi a $PP'$ szakaszt.
Magyarán szólva, a $P$, $O$ és $P'$ pontok egy egyenesre esnek, és a $P$ pont távolsága az $O$-tól pontosan ugyanakkora, mint a $P'$ pont távolsága az $O$-tól, csak éppen az $O$ pont "másik oldalán".
Ez a definíció magában hordozza a művelet kölcsönösségét is. Ha a $P$ pont tükörképe $P'$, akkor a $P'$ pont tükörképe visszavezet minket az eredeti $P$ pontba. Ez a tulajdonság biztosítja, hogy ha kétszer alkalmazzuk egymás után ugyanazt a tükrözést, akkor visszajutunk a kiindulási helyzetbe. Ezt hívjuk involúciónak.
"A tükrözés középpontja az egyetlen olyan pont az egész síkon, amely a transzformáció során a helyén marad, minden más pont helyzete megváltozik."
Szerkesztési lépések és eszközhasználat
A gyakorlati geometria egyik legszebb része a szerkesztés. Amikor körzővel és vonalzóval dolgozunk, a kezünkkel "gondolkodunk". A középponti tükörkép megszerkesztése nem bonyolult feladat, de pontosságot igényel. Nézzük meg, hogyan épül fel a folyamat lépésről lépésre, ha egy adott $A$ pontot szeretnénk tükrözni egy $O$ középpontra.
A folyamat során szükségünk lesz egy vonalzóra és egy körzőre. Bár szabadkézzel is vázolhatunk, a matematikai bizonyítások és a precíz ábrák megkövetelik a szerszámok használatát.
Először is vegyük fel a tükrözendő $A$ pontot és a tükrözés $O$ középpontját a papírra.
📍 Helyezzük a vonalzót úgy, hogy az illeszkedjen mind az $A$, mind az $O$ pontra.
✏️ Húzzunk egy vékony segédegyest, amely az $A$ pontból indul és áthalad az $O$ ponton, majd folytatódik a túloldalon. Fontos, hogy ez az egyenes elég hosszú legyen.
📍 Szúrjuk a körző hegyét pontosan az $O$ középpontba.
✏️ Nyissuk ki a körzőt addig, amíg a másik szára el nem éri az $A$ pontot. Ezzel "lemértük" az $AO$ távolságot.
✏️ A körző nyílásszögének megváltoztatása nélkül metsszük el az előzőleg húzott segédegyenest az $O$ pont másik oldalán.
📍 A keletkezett metszéspont lesz az $A'$ pont, azaz az $A$ pont tükörképe.
Ha egy összetettebb alakzatot, például egy háromszöget vagy egy sokszöget kell tükrözni, ugyanezt az eljárást kell végrehajtani az alakzat minden egyes csúcspontjával. Végül a kapott képpontokat (csúcsokat) a megfelelő sorrendben össze kell kötni.
"A pontos szerkesztés titka a hegyes ceruza és a biztos körzőtartás; még a legkisebb elmozdulás a középpontban is jelentős pontatlanságot okozhat a képpont helyzetében."
Alakzatok viselkedése és invariáns tulajdonságok
Amikor nem csak egyetlen pontot, hanem teljes alakzatokat vetünk alá ennek a transzformációnak, izgalmas törvényszerűségekre bukkanhatunk. A középponti szimmetria egyik legkarakteresebb tulajdonsága az irányítással kapcsolatos. Ellentétben a tengelyes tükrözéssel (amelyet a hétköznapi tükörben látunk), a középponti tükrözés síkban nem fordítja meg a körüljárási irányt.
Mit jelent ez? Ha egy háromszög csúcsait az óramutató járásával ellentétes irányban betűzzük meg ($A, B, C$), akkor a tükrözött háromszög csúcsai ($A', B', C'$) szintén az óramutató járásával ellentétes irányban követik majd egymást. Ez azért van, mert a középponti tükrözés a síkon valójában megegyezik egy 180 fokos elforgatással az adott középpont körül.
Különösen érdekes az egyenesek viselkedése. Ha egy egyenes nem halad át a tükrözés középpontján, akkor a tükörképe egy vele párhuzamos egyenes lesz. Ez a tulajdonság rendkívül hasznos bizonyítási feladatoknál. Ha viszont az egyenes áthalad a középponton, akkor a képe önmaga lesz (bár a pontjai helyet cserélnek rajta). Ezt hívjuk invariáns egyenesnek.
A szögtartás miatt egy szög szárai a tükrözés után is ugyanakkora szöget zárnak be egymással. Ebből következik, hogy a párhuzamos egyenesek párhuzamosak maradnak, a merőlegesek pedig merőlegesek. Ez a stabilitás teszi lehetővé, hogy bonyolultabb geometriai szerkezeteknél is könnyen megjósolhassuk a végeredményt.
Középpontosan szimmetrikus alakzatok a síkgeometriában
Vannak olyan különleges síkidomok, amelyek "saját magukba" tükrözhetők egy bizonyos pontra vonatkozóan. Ezeket nevezzük középpontosan szimmetrikus alakzatoknak. Ilyenkor a tükrözés középpontja az alakzat belső szimmetriacentruma.
A legismertebb ilyen alakzat a kör. A kör középpontja egyben a szimmetriaközéppontja is. Bármelyik pontját tükrözzük a középpontra, a kapott pont ismét a körvonalon lesz. De nem a kör az egyetlen.
A négyszögek világában a paralelogramma az abszolút győztes. Minden paralelogramma (így a téglalap, a négyzet és a rombusz is) középpontosan szimmetrikus az átlóinak metszéspontjára. Ez a tulajdonság oda-vissza igaz: ha egy négyszög középpontosan szimmetrikus, akkor az biztosan paralelogramma. Ez a tény gyakran segít a bizonyításokban: ha be tudjuk látni a szimmetriát, máris tudjuk, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és egyenlő hosszúak.
A szabályos sokszögek esetében is van egy egyszerű szabály: csak azok a szabályos sokszögek középpontosan szimmetrikusak, amelyeknek páros számú oldaluk van. A szabályos hatszög például szimmetrikus a középpontjára, de a szabályos háromszög vagy ötszög nem.
"Egy alakzat szimmetriaközéppontja mindig az alakzat súlypontja is egyben, ami a fizikai egyensúlyi helyzetek vizsgálatakor is kulcsfontosságú."
Koordinátageometriai megközelítés: számok a síkon
A geometria vizuális megközelítése mellett a koordinátageometria adja a kezünkbe a legerősebb fegyvert a pontos számításokhoz. Ha a síkot koordináta-rendszerbe helyezzük, a tükrözés művelete egyszerű algebrai képletekkel írható le.
A legegyszerűbb eset, amikor a tükrözés középpontja az origó, vagyis a $O(0; 0)$ pont. Ekkor, ha van egy $P(x; y)$ pontunk, a tükrözés során mindkét koordináta előjelet vált.
A képpont koordinátái: $P'(-x; -y)$.
Ez logikus, hiszen az origón átnyúlva a pozitívból negatívba, a negatívból pozitívba lépünk át mindkét tengely mentén.
De mi történik, ha a tükrözés középpontja nem az origó, hanem egy tetszőleges $C(u; v)$ pont? Ekkor is van egy jól használható képletünk. Mivel a $C$ pont a $PP'$ szakasz felezőpontja, a felezőpont koordinátáira vonatkozó összefüggésből (számtani közép) visszaszámolhatunk.
Ha $P(x; y)$ a pont és $C(u; v)$ a középpont, akkor a $P'(x'; y')$ koordinátái:
$x' = 2u – x$
$y' = 2v – y$
Nézzük meg ezt néhány példán keresztül az alábbi táblázatban, hogy lássuk, hogyan változnak az értékek különböző középpontok esetén.
| Eredeti pont P(x; y) | Tükrözési középpont C(u; v) | Képpont P'(x'; y') | Magyarázat |
|---|---|---|---|
| (3; 4) | (0; 0) [Origó] | (-3; -4) | Egyszerű előjelváltás. |
| (2; 5) | (1; 1) | (0; -3) | $2(1)-2=0$ és $2(1)-5=-3$. |
| (-4; 2) | (-1; 3) | (2; 4) | $2(-1)-(-4)=2$ és $2(3)-2=4$. |
| (0; 0) | (5; 5) | (10; 10) | Az origó tükörképe egy távoli pontra. |
Ez a táblázat jól mutatja, hogy a művelet tisztán aritmetikai úton is elvégezhető, ami számítógépes grafikában vagy programozásban elengedhetetlen.
"A koordinátageometriai képletek használatakor mindig figyeljünk az előjelekre, mert a legtöbb hiba a negatív számok kivonásából adódik."
Összehasonlítás a tengelyes szimmetriával
Gyakori hiba, hogy a tanulók összekeverik a középponti és a tengelyes szimmetriát. Bár mindkettő egybevágósági transzformáció, a hatásuk alapvetően eltérő. A legfontosabb különbség az úgynevezett körüljárási irányban rejlik.
Képzelj el egy papírlapot, amelyen egy szöveg van. Ha ezt a papírt tengelyesen tükrözöd (mint egy könyvlapot átfordítanád), a szöveg olvashatatlanná, tükörírássá válik. Ezzel szemben, ha középpontosan tükrözöd (ami a síkban 180 fokos forgatásnak felel meg), a szöveg fejjel lefelé lesz, de nem válik tükörírássá. Ha elfordítod a fejed, el tudod olvasni.
A tengelyes tükrözésnél van egy egész egyenes (a tengely), amelynek minden pontja a helyén marad. A középponti tükrözésnél csak egyetlen pont (a centrum) fix. Ez a különbség határozza meg azt is, hogy milyen alakzatokat tudunk létrehozni velük. Egy pillangó vagy egy emberi arc (közelítőleg) tengelyesen szimmetrikus. Egy propeller vagy a yin-yang szimbólum (színcsere nélkül) inkább a forgásszimmetriához és a középponti szimmetriához áll közelebb.
Az alábbi táblázat segít rendszerezni a két transzformáció közötti főbb eltéréseket.
| Tulajdonság | Középponti szimmetria | Tengelyes szimmetria |
|---|---|---|
| Fix pontok | Egyetlen pont (a középpont). | Egy teljes egyenes (a tengely) minden pontja. |
| Fix egyenesek | A középponton áthaladó összes egyenes (önmagukba térnek vissza). | Csak a tengely és a rá merőleges egyenesek. |
| Körüljárási irány | Megmarad (azonos). | Megváltozik (ellentétes). |
| Párhuzamosság | Egyenes képe vele párhuzamos. | Egyenes képe általában nem párhuzamos (kivéve, ha párhuzamos a tengellyel). |
| Fizikai analógia | Camera obscura képe, szemlencse képalkotása. | Tükörben látott kép. |
"A legkönnyebben úgy dönthetjük el, melyik szimmetriával van dolgunk, ha megvizsgáljuk: megfordult-e az alakzat 'belső' iránya, vagy csak elfordult a térben."
A középponti szimmetria a természetben és a művészetben
A matematika nem a füzet lapjain létezik, hanem a világban körülöttünk. A természet tele van szimmetriával, bár a tiszta középponti szimmetria ritkább, mint a tengelyes. Mégis, ha megvizsgálunk bizonyos virágokat, például a dália egyes fajtáit vagy a napraforgó magjainak elrendeződését, felfedezhetjük a középpont körüli rendezettséget.
A hókristályok csodálatos példái a hatszoros forgásszimmetriának, ami magában foglalja a középponti szimmetriát is. Mivel a csúcsok száma páros (hat), a szemközti ágak a középpontra nézve szimmetrikusak. Ez a szerkezet a vízmolekulák kristályrácsba rendeződésének fizikai következménye.
A művészetben és az építészetben a reneszánsz óta tudatosan alkalmazzák ezt a fajta egyensúlyt. A rózsaablakok a gótikus katedrálisokon, a perzsa szőnyegek mintázata, vagy a modern csempézési problémák (tesszalációk) mind a középponti tükrözés elveire építenek. A mandalák készítésekor is gyakran a középpontból indulnak ki, és sugárirányban haladva hoznak létre olyan mintákat, ahol a szemközti elemek rímelnek egymásra.
A játékkártyák világa is érdekes példa. A francia kártya figurás lapjai (király, dáma, bubi) úgy vannak megrajzolva, hogy középpontosan szimmetrikusak legyenek. Így nem számít, hogyan vesszük fel a lapot az asztalról, sosem lesz "fejjel lefelé" a figura. Ez egy zseniális gyakorlati dizájn, amely a matematikai szimmetriát használja a felhasználói élmény javítására.
"A természetben a szimmetria sosem tökéletes a környezeti hatások miatt, de az élőlények növekedési programjában kódolva van a törekvés a matematikai rendre."
Függvénytani vonatkozások: a páratlan függvények
Amikor kilépünk a geometriából az analízis világába, a középponti szimmetria új formában jelenik meg. A függvénytanban az origóra szimmetrikus függvényeket páratlan függvényeknek nevezzük.
A definíció szerint egy $f(x)$ függvény akkor páratlan, ha az értelmezési tartomány minden $x$ elemére teljesül, hogy $f(-x) = -f(x)$. Ez a képlet pontosan azt a koordinátageometriai szabályt írja le, amit korábban láttunk: ha az $x$ előjelet vált, az $y$ (azaz a függvényérték) is előjelet vált.
Klasszikus példa erre az $f(x) = x^3$ függvény vagy az $f(x) = \sin(x)$ függvény. Ha ránézünk ezek grafikonjára, azt látjuk, hogy a görbe az origóra nézve tükrös. Ami a jobb felső síknegyedben történik, annak a fordítottja történik a bal alsóban. Ezzel szemben a páros függvények (pl. $x^2$, $\cos(x)$) az y-tengelyre szimmetrikusak, ami tengelyes tükrözést jelent.
Ennek a tulajdonságnak óriási szerepe van az integrálszámításban. Ha egy páratlan függvényt szimmetrikus intervallumon integrálunk (például $-a$ és $a$ között), az eredmény mindig nulla. Miért? Mert a pozitív és a negatív területek a középponti szimmetria miatt pontosan kioltják egymást. Ez a felismerés rengeteg számolást spórolhat meg a mérnököknek és fizikusoknak.
"Egy függvény szimmetriájának felismerése gyakran a kulcs a bonyolult egyenletek vagy integrálok elegáns és gyors megoldásához."
A forgatás és a középponti tükrözés mélyebb kapcsolata
Már érintettük, de érdemes mélyebben is megvizsgálni a kapcsolatot a forgatás és a tükrözés között. A síkgeometriában a középponti tükrözés egyenértékű a 180 fokos elforgatással. Ez a tény teszi lehetővé, hogy a "tükrözést" mozgásként is értelmezzük.
Azonban, ha kilépünk a síkból a térbe, ez az azonosság megszűnik. A térben a pontra való tükrözés (minden koordináta előjelváltása: $x \to -x, y \to -y, z \to -z$) nem állítható elő puszta forgatással. A térbeli ponttükrözés megváltoztatja a "kezességet" (kiralitást). Gondolj egy jobbkezes kesztyűre. Ha középpontosan tükrözöd a térben (kifordítod magán keresztül az origón), balkezes kesztyűvé válik. Ezt a változást semmilyen forgatással nem tudod elérni a háromdimenziós térben.
Ez a különbségtétel kulcsfontosságú a kémiában, ahol a molekulák szimmetriája (sztereokémia) határozza meg, hogyan reagálnak egymással az anyagok. Két molekula, amelyek egymás középponti tükörképei, teljesen eltérő biológiai hatással bírhatnak.
"Míg síkban a középponti tükrözés kényelmesen elképzelhető forgatásként, magasabb dimenziókban ez egy önálló, a forgatástól alapvetően különböző művelet."
Vektorok és komplex számok világa
A matematikai leírások tovább egyszerűsödnek, ha vektorokat használunk. Ha az origót választjuk középpontnak, és egy pontba mutató helyvektort $\mathbf{r}$-rel jelölünk, akkor a tükrözött pont helyvektora egyszerűen $-\mathbf{r}$ lesz. Ez a vektoraritmetika legelemibb művelete: a vektor irányát megfordítjuk, hosszát változatlanul hagyjuk.
Ha a tükrözés középpontja egy $C$ pont (amelybe a $\mathbf{c}$ vektor mutat), és a $P$ pontba a $\mathbf{p}$ vektor mutat, akkor a $P'$ képpontba mutató $\mathbf{p'}$ vektor a következőképpen számolható:
$\mathbf{p'} = \mathbf{c} – (\mathbf{p} – \mathbf{c}) = 2\mathbf{c} – \mathbf{p}$.
Ez a vektoregyenlet elegánsan sűríti magába a koordinátageometriai képleteket, és dimenziótól függetlenül működik (tehát térben is igaz).
A komplex számok síkján a középponti tükrözés (az origóra) szintén gyönyörűen leírható. Ha van egy $z$ komplex számunk, akkor az origóra vett tükörképe $-z$. De tekinthetjük ezt úgy is, mint a $z$ komplex szám szorzását $e^{i\pi}$-vel (ami -1). Ez a nézőpont összeköti a geometriát az algebrával és a komplex függvénytannal.
"A vektoros írásmód nagy előnye, hogy független a koordináta-rendszer választásától, így a fizikai törvények leírására gyakran alkalmasabb."
Problémamegoldási stratégiák a középponti szimmetriával
Hogyan használhatjuk ezt a tudást versenyfeladatok vagy nehezebb geometriai problémák megoldására? A kulcs a "rejtett szimmetria" keresése. Sokszor egy feladatban nem szerepel kimondva a tükrözés, de ha észrevesszük a lehetőséget, a megoldás gyerekjátékká válik.
Például, ha egy feladatban egy szakaszt kell felezni, vagy egy pontra illeszkedő, bizonyos tulajdonságú húrt kell keresni egy körben, gyanakodjunk középponti szimmetriára. Egy klasszikus probléma: "Adott két egymást metsző kör és az egyik metszéspontjuk, $P$. Húzzunk egyenest a $P$ ponton keresztül úgy, hogy a két körből kimetszett húrok hossza egyenlő legyen."
A megoldás kulcsa, hogy az egyik kört tükrözzük a $P$ pontra. Ahol a tükrözött kör metszi az eredeti másik kört, ott lesz a keresett egyenes végpontja.
Az ilyen típusú segédtranszformációk alkalmazása a matematikai kreativitás csúcsa. Nem a feladatot oldjuk meg közvetlenül, hanem átmozgatjuk az elemeket egy olyan helyzetbe, ahol a megoldás "kiesik" a geometriai tulajdonságokból.
"Ha egy geometriai feladatban felezőpontot látsz, mindig érdemes megvizsgálni, segít-e, ha tükrözöd az alakzatot erre a pontra."
FAQ: Gyakori kérdések a középponti szimmetriáról
Minden paralelogramma középpontosan szimmetrikus?
Igen, minden paralelogramma szimmetrikus az átlóinak metszéspontjára. Sőt, ez a tulajdonság a paralelogrammák egyik definíciójaként is használható.
A háromszögek lehetnek középpontosan szimmetrikusak?
Nem, egyetlen háromszög sem középpontosan szimmetrikus. Mivel a háromszögnek páratlan számú csúcsa van, nem lehet minden csúcsnak "szemközti" párja, ami elengedhetetlen feltétele a középponti szimmetriának.
Mi a különbség a -x és a középponti tükrözés között?
A számegyenesen a -1-gyel való szorzás (x-ből -x) éppen az origóra vonatkozó tükrözést jelenti. Tehát egydimenzióban a két fogalom egybeesik. Magasabb dimenzióban (sík, tér) a koordináták előjelváltása jelenti a középponti tükrözést.
Megváltozik-e egy alakzat területe tükrözéskor?
Nem, soha. Mivel a középponti tükrözés egybevágósági transzformáció, az alakzat területe, kerülete és minden belső tulajdonsága változatlan marad.
Hogyan találom meg egy alakzat szimmetriaközéppontját, ha nem tudom, hol van?
Köss össze két olyan pontot az alakzaton, amelyekről tudod, hogy egymásnak felelnek meg (szimmetrikusak). A szakasz felezőpontja lesz a szimmetriaközéppont. Ha több ilyen párt is összekötsz, a felezőpontoknak egybe kell esniük.
A betűk közül melyek középpontosan szimmetrikusak?
Ez függ a betűtípustól, de általában a sans-serif (talp nélküli) nagybetűk közül az S, N, Z, H, I, O, X betűk középpontosan szimmetrikusak a saját mértani középpontjukra. Érdekesség, hogy ezek azok a betűk, amelyek 180 fokkal elforgatva is önmagukat (vagy egy másik betűt) adják.
