A geometria világában kevés alakzat olyan elegáns és praktikus egyszerre, mint a paralelogramma. Ez a négyszög nemcsak matematikai szépségével ragadja meg figyelmünket, hanem mindennapi életünkben is számtalan helyen felbukkan – a parkettázástól kezdve a műszaki rajzokon át egészen a természetben megfigyelhető kristályszerkezetekig.
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Ez a látszólag egyszerű definíció mögött azonban gazdag matematikai tartalom húzódik, amely számos érdekes tulajdonságot és alkalmazási lehetőséget rejt magában. A téglalapoktól a rombuszokon át a különleges esetekig – minden egyes variáció új perspektívát nyújt erre a geometriai alakzatra.
Ebben az írásban részletesen megismerkedhetsz a paralelogramma minden aspektusával: alapvető tulajdonságaitól kezdve a kerület- és területszámításon át egészen a gyakorlati alkalmazásokig. Megtudhatod, hogyan ismerheted fel ezeket az alakzatokat, milyen számítási módszerek állnak rendelkezésre, és hogy miért olyan fontosak ezek a négyszögek mind a matematikában, mind a mindennapi életben.
A paralelogramma alapjai és definíciója
A paralelogramma megértéséhez először tisztáznunk kell, mit is jelent ez a geometriai fogalom. Paralelogrammának nevezzük azt a négyszöget, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak. Ez az alapvető tulajdonság számos további jellemzőt von maga után, amelyek együttesen határozzák meg ennek az alakzatnak a természetét.
Amikor egy négyszög oldalait vizsgáljuk, és azt tapasztaljuk, hogy a szemközti oldalak soha nem metszik egymást – még ha végtelenül meghosszabbítanánk őket sem -, akkor paralelogrammával állunk szemben. Ez a párhuzamosság nem véletlen: matematikailag szükségszerű következménye annak, hogy az alakzat belső szögei és oldalai között speciális kapcsolatok állnak fenn.
A paralelogramma tulajdonságai között kiemelkedő szerepet játszik az, hogy szemközti oldalai nem csak párhuzamosak, hanem egyenlő hosszúak is. Ez azt jelenti, hogy ha egy paralelogramma egyik oldalának hossza 5 cm, akkor a vele szemközti oldal szintén 5 cm hosszú lesz. Hasonlóképpen, a másik két szemközti oldal is megegyezik egymással.
Paralelogramma típusai és speciális esetei
A paralelogrammák családja rendkívül sokszínű, és számos speciális esetet foglal magában:
• Téglalap: minden szöge derékszög, szemközti oldalai egyenlők
• Rombusz: minden oldala egyenlő hosszú, szemközti szögei egyenlők
• Négyzet: minden oldala és szöge egyenlő (téglalap és rombusz egyszerre)
• Általános paralelogramma: csak a szemközti oldalak párhuzamossága és egyenlősége teljesül
Ezek a speciális esetek mind a paralelogramma általános definíciójának megfelelnek, de további megszorításokkal rendelkeznek. A négyzet például a "legspeciálisabb" paralelogramma, mivel minden tulajdonsága szimmetrikus és egyenlő.
Szögek és átlók jellemzői
A paralelogramma szögei között érdekes összefüggések figyelhetők meg. A szemközti szögek mindig egyenlők, míg a szomszédos szögek kiegészítik egymást 180 fokra. Ez azt jelenti, hogy ha az egyik szög 60 fok, akkor a vele szemközti szög szintén 60 fok lesz, míg a mellette lévő szögek 120 fokosak lesznek.
Az átlók viselkedése szintén különleges: a paralelogramma átlói mindig felezik egymást. Ez praktikus jelentőséggel bír, mivel az átlók metszéspontja egyben a paralelogramma súlypontja is. Az átlók hossza azonban általában különböző, kivéve a téglalap esetét, ahol az átlók egyenlő hosszúak.
Kerület és terület számítása – gyakorlati megközelítés
A paralelogramma méreteinek kiszámítása alapvető készség, amely számos gyakorlati helyzetben hasznos lehet. A kerület számítása viszonylag egyszerű, míg a terület meghatározása némileg összetettebb, de logikus összefüggéseken alapul.
A kerület kiszámítása a legegyszerűbb feladat: össze kell adnunk mind a négy oldal hosszát. Mivel a szemközti oldalak egyenlők, elegendő két szomszédos oldal hosszát ismernünk. Ha az egyik oldal hossza a, a másik pedig b, akkor a kerület képlete: K = 2(a + b). Ez a képlet minden paralelogramma típusra alkalmazható, legyen az téglalap, rombusz vagy általános paralelogramma.
A terület számítása már igényel némi geometriai gondolkodást. A paralelogramma területe az alap és a hozzá tartozó magasság szorzata: T = a × m. Itt fontos megjegyezni, hogy a magasság nem feltétlenül egyezik meg a paralelogramma oldalával – ez csak derékszögű paralelogramma (téglalap) esetén igaz.
Lépésről lépésre: területszámítás gyakorlati példával
Vegyünk egy konkrét példát a jobb megértés érdekében. Képzeljük el, hogy van egy paralelogrammánk, amelynek alapja 8 cm, oldala 6 cm, és a hozzá tartozó magasság 4 cm.
1. lépés: Azonosítsuk be az alapot és a hozzá tartozó magasságot. Az alap 8 cm, a magasság 4 cm.
2. lépés: Alkalmazzuk a területképletet: T = alap × magasság = 8 × 4 = 32 cm²
3. lépés: Ellenőrizzük az eredményt. A magasság mindig merőleges az alapra, és rövidebb vagy egyenlő az oldal hosszával.
🔍 Fontos megjegyzés: "A paralelogramma területének kiszámításakor a magasság mindig az alapra merőleges távolság, nem pedig az oldal hossza."
Gyakori hibák a számításoknál
Sokan elkövető hibát jelenthet, ha a paralelogramma oldalának hosszát használjuk magasságként. Ez csak akkor helyes, ha a paralelogramma derékszögű (azaz téglalap). Általános paralelogramma esetén a magasság mindig kisebb, mint az oldal hossza.
Másik gyakori hiba a kerületszámításnál, amikor négyszer vesszük ugyanazt az oldalhosszt, pedig csak kétféle oldalhossz van. Mindig figyeljünk arra, hogy a szemközti oldalak egyenlők, de a szomszédos oldalak általában különbözőek.
Felismerési módszerek és tulajdonságok
A paralelogramma felismerése nem mindig egyszerű feladat, különösen akkor, ha az alakzat nem "szabványos" helyzetben van elhelyezve. Azonban számos megbízható módszer áll rendelkezésünkre, amelyek segítségével biztosan azonosíthatjuk ezeket a négyszögeket.
Az oldalak párhuzamosságának vizsgálata a legkézenfekvőbb módszer. Ha egy négyszög szemközti oldalai párhuzamosak, akkor paralelogrammával állunk szemben. A gyakorlatban ezt vonalzóval és derékszögű háromszöggel ellenőrizhetjük, vagy koordináta-rendszerben a meredekségek egyenlőségével.
A szögek vizsgálata szintén hasznos módszer. Ha egy négyszög szemközti szögei egyenlők, és a szomszédos szögek összege 180 fok, akkor paralelogrammát találtunk. Ez különösen hasznos lehet olyan helyzetekben, amikor az oldalak párhuzamosságát nehéz közvetlenül megállapítani.
Átlók mint azonosítási eszközök
Az átlók viselkedése egyedülálló módon jellemzi a paralelogrammákat. Ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor az alakzat paralelogramma. Ez a tulajdonság különösen hasznos olyan esetekben, amikor csak az átlók metszéspontját és a csúcsokat ismerjük.
Az átlók hosszának aránya is információt szolgáltat az alakzat típusáról. Téglalap esetén az átlók egyenlő hosszúak, rombusznál merőlegesen metszik egymást, míg általános paralelogrammánál egyik sem teljesül.
Koordináta-geometriai megközelítés
Modern matematikai eszközökkel a paralelogramma tulajdonságai koordináta-rendszerben is vizsgálhatók. Ha négy pont koordinátáit ismerjük, könnyen ellenőrizhetjük:
🔸 A szemközti oldalak vektorainak egyenlőségét
🔸 Az átlók felezőpontjának egybeesését
🔸 A szomszédos oldalak merőlegességét (téglalap esetén)
🔸 Az oldalak hosszának egyenlőségét (rombusz esetén)
🔸 Mindkét tulajdonság egyidejű teljesülését (négyzet esetén)
Paralelogramma a mindennapi életben
A paralelogramma alakú objektumok minden irányból körülvesznek minket, még ha nem is gondolunk rájuk tudatosan geometriai alakzatokként. Ezek a négyszögek rendkívül praktikus tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek miatt széles körben alkalmazzák őket különféle területeken.
Az építészetben és mérnöki tudományokban a paralelogrammák stabilitást és hatékonyságot biztosítanak. A tetőszerkezetek, hidak és toronydaruk gyakran tartalmaznak paralelogramma alakú elemeket, amelyek optimálisan osztják el a terheléseket. A párhuzamos oldalak miatt ezek a szerkezetek egyenletesen viselkednek mechanikai igénybevétel alatt.
A művészetben és designban a paralelogramma dinamizmust és mozgás érzetét kelti. A ferde szögek miatt az alakzat "lendületesnek" tűnik, ezért gyakran használják logókban, plakátokon és modern építészeti elemekben. A szemközti oldalak párhuzamossága ugyanakkor harmóniát és kiegyensúlyozottságot sugall.
Technológiai alkalmazások
A modern technológia számos területén találkozhatunk paralelogramma elvű megoldásokkal. A mechanikus linkage-ek (kötőrudas mechanizmusok) gyakran paralelogramma elven működnek, biztosítva, hogy egy elem mindig párhuzamos maradjon önmagával mozgás közben.
A képernyők és monitorok világában a paralelogramma torzítás korrekciója fontos szerepet játszik. A projektoros megjelenítésnél a ferde vetítés miatt gyakran paralelogramma alakú kép keletkezik, amelyet speciális beállításokkal kell korrigálni.
💡 Fontos megjegyzés: "A paralelogramma tulajdonságai miatt ez az alakzat ideális választás olyan alkalmazásokhoz, ahol stabilitás és szimmetria egyaránt szükséges."
Speciális paralelogramma típusok részletesen
Bár minden téglalap, rombusz és négyzet paralelogramma, mindegyik rendelkezik egyedi tulajdonságokkal, amelyek megkülönböztetik őket az általános paralelogrammától és egymástól is. Ezek a speciális esetek különösen fontosak mind az elméleti matematikában, mind a gyakorlati alkalmazásokban.
A téglalap talán a legismertebb paralelogramma típus, ahol minden belső szög derékszög. Ez a tulajdonság rendkívül hasznossá teszi építészeti és mérnöki alkalmazásokban, mivel a derékszögek egyszerűsítik a tervezést és a számításokat. A téglalap területe egyszerűen a két szomszédos oldal szorzata, és az átlók egyenlő hosszúak.
A rombusz ezzel szemben minden oldalának egyenlősége révén tűnik ki. Bár a szögei nem feltétlenül derékszögek, a szimmetria más formáját képviseli. A rombusz átlói mindig merőlegesen felezik egymást, és az alakzat négy egybevágó derékszögű háromszögre bontható az átlók mentén.
A négyzet mint "tökéletes" paralelogramma
A négyzet egyesíti magában a téglalap és a rombusz összes előnyös tulajdonságát. Minden oldala egyenlő, minden szöge derékszög, átlói egyenlő hosszúak és merőlegesen felezik egymást. Ez a "tökéletesség" teszi a négyzetet különösen fontossá mind a matematikában, mind a művészetekben.
A négyzet szimmetriája páratlan: négy tükrözési tengelye és négy elforgatási szimmetriája van. Ez a tulajdonság különösen értékessé teszi dekoratív és építészeti alkalmazásokban, ahol a harmónia és az egyensúly fontos szempont.
Paralelogramma típusok összehasonlítása
| Tulajdonság | Általános paralelogramma | Téglalap | Rombusz | Négyzet |
|---|---|---|---|---|
| Szemközti oldalak párhuzamosak | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Szemközti oldalak egyenlők | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Minden szög derékszög | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ |
| Minden oldal egyenlő | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ |
| Átlók egyenlő hosszúak | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ |
| Átlók merőlegesen metszik egymást | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ |
Számítási módszerek és képletek
A paralelogramma különféle méréseinek kiszámítása változatos matematikai módszereket igényel, attól függően, hogy milyen adatok állnak rendelkezésünkre. A gyakorlati problémák megoldása során gyakran kombinálnunk kell különböző geometriai összefüggéseket és trigonometriai ismereteket.
Az alapvető kerület és területszámítás mellett sokszor szükség van összetettebb számításokra is. Például, ha csak az oldalak hosszát és az egyik szög nagyságát ismerjük, trigonometriai függvények segítségével határozhatjuk meg a magasságot és így a területet.
A koordináta-geometriai módszerek különösen hasznosak, amikor a paralelogramma csúcspontjainak koordinátáit ismerjük. Ebben az esetben vektorok segítségével számíthatjuk ki az oldalak hosszát, a területet, és ellenőrizhetjük a paralelogramma tulajdonságokat.
Terület számítása különböző módszerekkel
A paralelogramma területének meghatározására több módszer is létezik:
Alap × magasság módszer: A legegyszerűbb, ha ismerjük az alap hosszát és a hozzá tartozó magasságot.
Oldalak és szög módszer: Ha két szomszédos oldal hosszát (a és b) és a közbezárt szög nagyságát (α) ismerjük, akkor T = a × b × sin(α).
Vektoros módszer: Koordináta-rendszerben a terület a két szomszédos oldalt reprezentáló vektor keresztszorzatának abszolút értéke.
🧮 Fontos megjegyzés: "A paralelogramma területének kiszámításához mindig a megfelelő magasságot kell használni, amely merőleges az alapra."
Átlók hosszának meghatározása
Az átlók hosszának kiszámítása paralelogramma esetén összetettebb feladat, mint téglalap esetén. A paralelogramma törvény (más néven koszinusz-tétel általánosítása) szerint:
d₁² = a² + b² – 2ab cos(α)
d₂² = a² + b² – 2ab cos(β)
ahol α és β szomszédos szögek, amelyek kiegészítik egymást 180°-ra.
Konstrukciós módszerek és rajzolási technikák
A paralelogramma megszerkesztése különböző kiindulási adatok alapján érdekes geometriai feladatokat jelent. Ezek a konstrukciók nemcsak elméleti jelentőségűek, hanem gyakorlati készségeket is fejlesztenek a térlátás és a geometriai gondolkodás terén.
A két oldal és a közbezárt szög alapján történő szerkesztés a leggyakoribb módszer. Először felrajzoljuk az egyik oldalt, majd a végpontjából a megadott szög alatt húzzuk a második oldalt. Ezután párhuzamosokat húzunk a már meglévő oldalakkal, és a metszéspontok adják a negyedik csúcsot.
Az átlók alapján történő konstrukció különleges esetet jelent. Ha az átlók hosszát és metszésszögét ismerjük, először megrajzoljuk az átlókat úgy, hogy felezzék egymást, majd a végpontokat összekötve kapjuk a paralelogramma oldalait.
Digitális rajzolási technikák
Modern CAD szoftverekben a paralelogramma rajzolása automatizált parancsokkal történik. A "parallelogram" vagy "rhomboid" parancsok lehetővé teszik, hogy egyszerűen megadjuk a szükséges paramétereket, és a program automatikusan generálja az alakzatot.
A vektorgrafikai programokban gyakran használt módszer a másolás és elforgatás kombinációja. Egy oldal megrajzolása után azt lemásoljuk és eltoljuk, majd a folyamat megismétlésével kapjuk meg a teljes alakzatot.
Szerkesztési pontosság és hibák elkerülése
A pontos szerkesztés érdekében fontos betartani néhány alapvető szabályt:
• Mindig ellenőrizzük a párhuzamosságot vonalzó és derékszögű háromszög segítségével
• A szögmérő használatakor figyeljünk a pontos beállításra
• Digitális rajzolásnál használjunk rácsilliesztést (snap to grid) funkciót
• Nagyobb méretű rajzoknál osszuk fel a munkát több lépésre
💡 Fontos megjegyzés: "A paralelogramma pontos megszerkesztése türelmet és precizitást igényel, de a gyakorlással rutinszerűvé válik."
Paralelogramma és más geometriai alakzatok kapcsolata
A paralelogramma nem izolált geometriai alakzat – szoros kapcsolatban áll számos más geometriai formával, és ezek a kapcsolatok mélyebb megértést nyújtanak a síkgeometria egészéről. Az alakzatok közötti átmenetek és transzformációk feltárása izgalmas betekintést enged a matematikai szépség világába.
A háromszögekkel való kapcsolat különösen érdekes: minden paralelogramma felbontható két egybevágó háromszögre az átlók egyike mentén. Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy a háromszögekre vonatkozó tételeket alkalmazzuk paralelogrammák esetén is, és fordítva.
A trapézokkal való rokonsági viszony szintén figyelemre méltó. A paralelogramma tulajdonképpen speciális trapéz, ahol mindkét pár szemközti oldal párhuzamos, nem csak az egyik. Ez a kapcsolat segít megérteni, hogyan épül fel a négyszögek hierarchiája a geometriában.
Transzformációk és alakváltozások
A paralelogramma különféle geometriai transzformációk alatt érdekes viselkedést mutat. Eltolás (transzláció) esetén minden tulajdonsága változatlan marad – a paralelogramma "önmagába" képződik le.
Forgatás során a paralelogramma alakja megmarad, csak helyzete változik. Ez különösen fontos tulajdonság a kristálytanban és a mintázatok tervezésében, ahol a forgatási szimmetria kulcsszerepet játszik.
Tükrözés esetén a paralelogramma általában nem marad paralelogramma, kivéve, ha a tükrözési tengely speciális helyzetben van (például átmegy az alakzat középpontján és párhuzamos valamelyik oldallal).
Paralelogramma alapú összetett alakzatok
| Alakzat típus | Paralelogrammák száma | Speciális tulajdonság |
|---|---|---|
| Hexagon (szabályos) | 3 | Minden paralelogramma rombusz |
| Oktaéder vetülete | 3 | Átfedő paralelogrammák |
| Kocka vetülete | 3 | Különböző méretű paralelogrammák |
| Parquet minta | Változó | Csempézési mintázat |
Hibák és tévhitek a paralelogrammákkal kapcsolatban
A paralelogramma tanulmányozása során számos tipikus félreértés és hiba léphet fel, amelyek megértése és elkerülése elengedhetetlen a pontos geometriai gondolkodás kialakulásához. Ezek a hibák gyakran alapvető fogalmi zavarokból erednek, de megfelelő odafigyeléssel könnyen elkerülhetők.
Az egyik leggyakoribb tévhit, hogy minden négyszög, amelynek van két párhuzamos oldala, paralelogramma. Valójában ez csak trapézt jelent – paralelogrammához mindkét pár szemközti oldal párhuzamossága szükséges. Ez a különbségtétel különösen fontos a gyakorlati alkalmazásokban.
Másik elterjedt félreértés a területszámítással kapcsolatos: sokan azt hiszik, hogy a paralelogramma területe mindig kisebb, mint egy ugyanakkora oldalakkal rendelkező téglalap területe. Bár ez gyakran igaz, a terület valójában a magasságtól függ, nem az oldal hosszától.
Számítási hibák és megelőzésük
A magasság és oldal összekeverése a leggyakoribb számítási hiba. Fontos megérteni, hogy a magasság mindig merőleges az alapra, míg az oldal általában ferde szögben helyezkedik el. Ez a különbség különösen jelentős területszámításnál.
A szögek helytelen azonosítása szintén problémát okozhat. Sokan elfelejtik, hogy a paralelogramma szomszédos szögei kiegészítik egymást 180 fokra, nem egyenlők egymással (kivéve a téglalap esetét).
🚫 Fontos megjegyzés: "A paralelogramma nem minden tulajdonsága intuitív – a pontos definíciók ismerete elengedhetetlen a helyes alkalmazáshoz."
Vizuális illúziók és tévedések
Bizonyos vizuális kontextusokban a paralelogrammák megtévesztőek lehetnek. A perspektíva miatt egy téglalap paralelogrammának tűnhet, vagy fordítva. Ez különösen fontos építészeti rajzok és műszaki ábrák értelmezésénél.
Az optikai illúziók is befolyásolhatják a paralelogrammák észlelését. Egyes mintázatokban a párhuzamos vonalak nem párhuzamosnak tűnhetnek, ami téves következtetésekhez vezethet az alakzat tulajdonságaival kapcsolatban.
Gyakorlati feladatok és alkalmazások
A paralelogramma ismeretek gyakorlati alkalmazása széles spektrumot ölel fel, a mindennapi problémáktól kezdve a szakmai feladatokig. Ezek a gyakorlatok nemcsak a számítási készségeket fejlesztik, hanem a térlátást és a problémamegoldó képességet is.
Építőipari alkalmazások során gyakran szükség van paralelogramma alakú területek kiszámítására. Például egy ferde tetőfelület területének meghatározása, vagy egy rézsűs terep felmérése paralelogramma-számítási ismereteket igényel.
A kerttervezésben és tájépítészetben paralelogramma alakú virágágyások, járdák vagy teraszok tervezése gyakori feladat. Ezekben az esetekben nemcsak a területet, hanem a kerületet is pontosan ki kell számítani a szükséges anyagmennyiség meghatározásához.
Lépésről lépésre: komplex gyakorlati példa
Tegyük fel, hogy egy kertben paralelogramma alakú virágágyást szeretnénk kialakítani. Az ágyás egyik oldala 6 méter, a másik 4 méter, és a köztük lévő szög 60 fok.
1. lépés – Terület kiszámítása:
T = a × b × sin(α) = 6 × 4 × sin(60°) = 24 × 0,866 = 20,78 m²
2. lépés – Kerület meghatározása:
K = 2(a + b) = 2(6 + 4) = 20 méter
3. lépés – Magasság számítása:
m = b × sin(α) = 4 × sin(60°) = 4 × 0,866 = 3,46 méter
4. lépés – Gyakorlati alkalmazás:
- Földmennyiség (20 cm mélységgel): 20,78 × 0,2 = 4,16 m³
- Szegélykő mennyisége: 20 méter
- Mulcs mennyiség (5 cm vastagságban): 20,78 × 0,05 = 1,04 m³
Hibalehetőségek és ellenőrzés
A gyakorlati számítások során mindig ellenőrizzük az eredmény ésszerűségét. Ha a kiszámított terület nagyobb lenne, mint egy ugyanakkora oldalú téglalap területe, akkor valószínűleg hibát követtünk el.
Mértékegységek következetes használata kulcsfontosságú. Mindig figyeljünk arra, hogy minden adat ugyanabban a mértékegységben legyen megadva, különben súlyos hibák keletkezhetnek.
📐 Fontos megjegyzés: "A gyakorlati alkalmazásokban mindig hagyjunk némi tartalékot az anyagmennyiségben a vágási hulladék és a pontatlanságok kompenzálására."
Mit jelent a paralelogramma szó eredete?
A "paralelogramma" szó a görög "parallelos" (párhuzamos) és "gramma" (vonal, rajz) szavakból származik, ami tökéletesen leírja az alakzat alapvető tulajdonságát: a párhuzamos vonalakat.
Lehet-e egy paralelogrammának három derékszöge?
Nem, ha egy paralelogrammának három derékszöge van, akkor automatikusan a negyedik is derékszög lesz, így téglalappá válik. Ez a szemközti szögek egyenlőségéből és a szomszédos szögek 180°-ra való kiegészüléséből következik.
Hogyan különböztetjük meg a paralelogrammát a trapéztól?
A paralelogramma minden szemközti oldalpárja párhuzamos, míg a trapéznak csak egy párhuzamos oldalpárja van. Ez a legfontosabb különbség a két alakzat között.
Miért fontos a paralelogramma a matematikában?
A paralelogramma számos geometriai fogalom és tétel alapja. Segít megérteni a szimmetriát, a transzformációkat, és kapcsolatot teremt a különböző geometriai alakzatok között.
Hogyan számítjuk ki a paralelogramma átlóinak hosszát?
Az átlók hossza kiszámítható a koszinusz-tétel segítségével, ha ismerjük az oldalak hosszát és a köztük lévő szöget. A képlet: d² = a² + b² – 2ab cos(α), ahol α a két oldal közötti szög.
Van-e a paralelogrammának szimmetria-tengelye?
Az általános paralelogrammának nincs tükrözési szimmetria-tengelye, csak pont-szimmetriája van a középpont körül. Kivételt képeznek a speciális esetek: téglalap, rombusz és négyzet.
