Számtalan olyan helyzet adódhat az életünkben, amikor szembetaláljuk magunkat számokkal, melyek nem feltétlenül egész számok. Legyen szó egy recept hozzávalóinak arányáról, egy építkezés méreteiről, vagy akár egy bonyolultabb pénzügyi számításról, a törtek gyakran felbukkannak. És mi történik, ha ezeket a törteket még meg is kell szoroznunk önmagukkal, vagyis hatványozzuk őket? Lehet, hogy elsőre egy kicsit ijesztőnek tűnik, de higgyétek el, ha megértjük a mögötte rejlő logikát és a szabályokat, ez a művelet éppoly egyszerűvé válik, mint bármelyik másik alapvető matematikai lépés.
A törtek hatványozása nem más, mint egy tömör és elegáns módszer arra, hogy kifejezzük, amikor egy törtet többször megszorozzuk saját magával. Gondoljunk csak bele, milyen körülményes lenne leírni azt, hogy $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}$. Ezt a sokszorozást a hatványozás segítségével sokkal rövidebben és érthetőbben írhatjuk le, mint $\left(\frac{2}{3}\right)^4$. Ez az egyszerűsítés teszi a törtek hatványozását elengedhetetlen eszközzé a matematika sok területén, az algebrai kifejezésektől kezdve a valószínűségszámításon át a geometriáig.
Ebben a bejegyzésben arra vállalkozom, hogy végigvezessem Önöket a törtek hatványozásának rejtelmein. Megismerkedünk a legfontosabb szabályokkal, amelyeket követni kell, és rengeteg gyakorlati példán keresztül szemléltetjük majd ezeket a szabályokat. Célom, hogy miután elolvasták ezt a bejegyzést, magabiztosan álljanak a törtek hatványozása elé, és ne féljenek alkalmazni a tanultakat semmilyen feladatban. Vágjunk bele együtt ebbe az izgalmas matematikai utazásba!
A törtek hatványozásának alapjai
A törtek hatványozása lényegében nem más, mint az egész számok hatványozásának kiterjesztése. Ahogy egy egész szám hatványozása azt jelenti, hogy az alapszámot önmagával szorozzuk meg annyiszor, ahány a kitevő, úgy a törteknél is ugyanez a logika érvényesül. Azonban a tört szerkezete – a számláló és a nevező különállása – néhány speciális szabályt is magával hoz.
A hatványozás definíciója törtek esetében
Tekintsünk egy tetszőleges törtet, jelöljük $\frac{a}{b}$ formában, ahol $a$ a számláló és $b$ a nevező. Ha ezt a törtet egy $n$ kitevőre emeljük, az azt jelenti, hogy a törtet önmagával szorozzuk meg $n$ alkalommal:
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \dots \times \frac{a}{b}}_{n \text{ tényező}} $$
Fontos megjegyezni, hogy a nevező ($b$) soha nem lehet nulla, mivel nullával nem oszthatunk.
A szabályok szemléltetése
A törtek hatványozásának kulcsát két fő szabály tartalmazza, amelyek megkönnyítik a számításokat:
-
A kitevő mind a számlálóra, mind a nevezőre vonatkozik: Ez azt jelenti, hogy az $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ kifejezés egyenlő a számláló $n$-edik hatványával per a nevező $n$-edik hatványával. Matematikailag:
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$
Ez a szabály rendkívül hasznos, mert lehetővé teszi számunkra, hogy a törtet két különálló hatványozási feladatra bontsuk, és az eredményt végül egy új tört formájában írjuk fel. -
A negatív kitevő: Amikor egy törtet negatív kitevőre emelünk, az lényegében a tört reciprokának megfelelő pozitív kitevőre emelésével ekvivalens. Vagyis:
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n} $$
Ez a szabály megmutatja, hogy a negatív kitevő "megfordítja" a törtet, mielőtt a hatványozást elvégeznénk.
Ezek a szabályok képezik az alapját minden további műveletnek, legyen szó szorzásról, osztásról vagy akár bonyolultabb algebrai manipulációkról.
"A matematika nem más, mint egy nyelv, amellyel megértjük a világot. A törtek hatványozásának szabályai e nyelv grammatikájának részei, amelyek lehetővé teszik a rend és az érthetőség megteremtését még a legösszetettebb kifejezésekben is."
A törtek hatványozásának legfontosabb szabályai és példák
Most, hogy már megismerkedtünk az alapokkal, nézzük meg részletesen a törtek hatványozásának legfontosabb szabályait, és illusztráljuk azokat konkrét példákkal. Ezek a szabályok segítenek abban, hogy gyorsan és pontosan végezhessünk el ilyen típusú számításokat.
1. A kitevő kiterjesztése a számlálóra és a nevezőre
Ez az alapvető szabály, ahogy azt már említettük, a törtek hatványozásának legegyszerűbb és leggyakrabban használt módja. Amikor egy törtet egy pozitív egész kitevőre emelünk, egyszerűen megemeljük a számlálót és a nevezőt is ugyanarra a kitevőre.
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$
Példa 1: Számítsuk ki a $\left(\frac{2}{3}\right)^3$ értékét.
Ebben az esetben $a=2$, $b=3$, és $n=3$. Alkalmazzuk a szabályt:
$$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} $$
Most kiszámoljuk a hatványokat:
$$ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $$
$$ 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 $$
Tehát az eredmény:
$$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} $$
Példa 2: Számítsuk ki a $\left(\frac{5}{4}\right)^2$ értékét.
Itt $a=5$, $b=4$, és $n=2$.
$$ \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{5^2}{4^2} $$
A hatványok kiszámítása:
$$ 5^2 = 5 \times 5 = 25 $$
$$ 4^2 = 4 \times 4 = 16 $$
Tehát:
$$ \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} $$
2. Negatív kitevő alkalmazása
Ahogy korábban említettük, a negatív kitevő lényegében a tört "megfordítását" jelenti, mielőtt a pozitív kitevőre emelnénk.
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n $$
Példa 3: Számítsuk ki a $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}$ értékét.
Ebben az esetben $a=1$, $b=2$, $n=4$. Először "megfordítjuk" a törtet:
$$ \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2}{1}\right)^4 $$
Mivel $\frac{2}{1} = 2$, ez egyszerűen $2^4$ lesz.
$$ \left(\frac{2}{1}\right)^4 = 2^4 $$
Kiszámoljuk a hatványt:
$$ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 $$
Tehát:
$$ \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 16 $$
Példa 4: Számítsuk ki a $\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}$ értékét.
Itt $a=3$, $b=5$, $n=2$.
$$ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 $$
Most alkalmazzuk az első szabályt:
$$ \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{5^2}{3^2} $$
Kiszámoljuk a hatványokat:
$$ 5^2 = 25 $$
$$ 3^2 = 9 $$
Tehát az eredmény:
$$ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \frac{25}{9} $$
3. Egymás melletti műveletek kombinálása
Gyakran előfordul, hogy több tört hatványozása szerepel egyazon kifejezésben, amelyeket aztán szorozni vagy osztani kell. Ilyenkor az alapműveletek sorrendjét (PEMDAS/BODMAS) kell követnünk, ahol a zárójelek és a hatványozás megelőzi a szorzást és az osztást.
Példa 5: Számítsuk ki a $\left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3$ értékét.
Először kiszámoljuk a két tört hatványozását külön-külön:
$$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} $$
$$ \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64} $$
Most megszorozzuk a két eredményt:
$$ \frac{4}{9} \times \frac{27}{64} $$
A törtek szorzásánál a számlálókat megszorozzuk egymással, a nevezőket pedig egymással:
$$ \frac{4 \times 27}{9 \times 64} $$
Lehetőség szerint egyszerűsítsünk a szorzás előtt vagy után. Érdemes észrevenni, hogy a 27 osztható 9-cel (27/9 = 3), és a 4 osztható 4-gyel (4/4 = 1), míg a 64 osztható 4-gyel (64/4 = 16).
$$ \frac{1 \times 3}{1 \times 16} = \frac{3}{16} $$
Tehát:
$$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3}{16} $$
4. Hatalom emelése hatványra
Ha egy már hatványon lévő törtet további hatványra emelünk, a kitevőket összeszorozzuk.
$$ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \times n} = \frac{a^{m \times n}}{b^{m \times n}} $$
Példa 6: Számítsuk ki a $\left(\left(\frac{2}{5}\right)^3\right)^2$ értékét.
Itt $a=2$, $b=5$, $m=3$, $n=2$.
Először összeszorozzuk a kitevőket: $m \times n = 3 \times 2 = 6$.
Tehát:
$$ \left(\left(\frac{2}{5}\right)^3\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^6 $$
Most alkalmazzuk az első szabályt:
$$ \left(\frac{2}{5}\right)^6 = \frac{2^6}{5^6} $$
Kiszámoljuk a hatványokat:
$$ 2^6 = 64 $$
$$ 5^6 = 15625 $$
Tehát az eredmény:
$$ \left(\left(\frac{2}{5}\right)^3\right)^2 = \frac{64}{15625} $$
5. Szorzás és osztás hatványozott törtekkel
Amikor azonos alapú hatványokat szorzunk, a kitevőket összeadjuk. Amikor pedig osztunk, a kitevőket kivonjuk. Ez a szabály a törtek hatványozására is érvényes.
- Szorzás: $\left(\frac{a}{b}\right)^m \times \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}$
- Osztás: $\left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n}$
Példa 7: Számítsuk ki a $\left(\frac{3}{7}\right)^4 \times \left(\frac{3}{7}\right)^2$ értékét.
Az alapok (azaz a $\frac{3}{7}$) azonosak, így a kitevőket összeadjuk:
$$ \left(\frac{3}{7}\right)^4 \times \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \left(\frac{3}{7}\right)^{4+2} = \left(\frac{3}{7}\right)^6 $$
Ezután alkalmazzuk az első szabályt:
$$ \left(\frac{3}{7}\right)^6 = \frac{3^6}{7^6} $$
Kiszámoljuk a hatványokat:
$$ 3^6 = 729 $$
$$ 7^6 = 117649 $$
Tehát:
$$ \left(\frac{3}{7}\right)^4 \times \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{729}{117649} $$
Példa 8: Számítsuk ki a $\left(\frac{5}{2}\right)^7 \div \left(\frac{5}{2}\right)^3$ értékét.
Az alapok azonosak, így a kitevőket kivonjuk:
$$ \left(\frac{5}{2}\right)^7 \div \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \left(\frac{5}{2}\right)^{7-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^4 $$
Most alkalmazzuk az első szabályt:
$$ \left(\frac{5}{2}\right)^4 = \frac{5^4}{2^4} $$
Kiszámoljuk a hatványokat:
$$ 5^4 = 625 $$
$$ 2^4 = 16 $$
Tehát:
$$ \left(\frac{5}{2}\right)^7 \div \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{625}{16} $$
A fentiekben bemutatott szabályok lehetővé teszik, hogy bármilyen összetettnek tűnő törthatványozási feladatot megoldjunk. A kulcs a szabályok megértése és a következetes alkalmazásuk.
"A matematikai törvények nem véletlenszerű előírások, hanem logikai következmények. A törtek hatványozásának szabályai is így működnek: követik a szorzás és a hatványozás alapelveit, csak a tört speciális szerkezetéhez igazítva."
Törtek hatványozása: speciális esetek és trükkök
Néha előfordulnak olyan helyzetek, amelyek egy kicsit eltérnek az általános szabályoktól, vagy speciális ismereteket igényelnek a hatékony megoldáshoz. Ilyenkor érdemes egy-két extra trükkre vagy speciális esetre is gondolni.
Kitevő 0 és 1
Mint minden szám esetében, a törtek hatványozásakor is érvényesek a kitevő 0-ra és 1-re vonatkozó szabályok.
-
Kitevő 0: Bármely nem nulla szám nulladik hatványa 1. Ez a törtekre is vonatkozik.
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 \quad (\text{ahol } a \neq 0 \text{ és } b \neq 0) $$
Példa: $\left(\frac{7}{2}\right)^0 = 1$. -
Kitevő 1: Bármely szám első hatványa önmaga.
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^1 = \frac{a}{b} $$
Példa: $\left(\frac{3}{5}\right)^1 = \frac{3}{5}$.
Törtek hatványozása vegyes számoknál
Ha vegyes számokkal van dolgunk, az első és legfontosabb lépés, hogy azokat átalakítsuk nem megfelelő (álegyenlő) törtté. Ezután már alkalmazhatjuk a tanult szabályokat.
Példa 9: Számítsuk ki a $\left(1\frac{1}{2}\right)^3$ értékét.
Először alakítsuk át a vegyes számot nem megfelelő törtté:
$$ 1\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$
Most már kiszámolhatjuk a hatványt:
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8} $$
Az eredményt visszaalakíthatjuk vegyes számmá, ha szükséges: $\frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$.
Egyszerűsítés a hatványozás előtt
Néha előnyös lehet a törtet egyszerűsíteni a hatványozás elvégzése előtt, ha ez lehetséges. Bár a szabályaink szerint a kitevő mind a számlálóra, mind a nevezőre vonatkozik, a számok kisebbek lesznek, ha az eredeti tört már egyszerűsített alakban van.
Példa 10: Számítsuk ki a $\left(\frac{6}{8}\right)^2$ értékét.
Két lehetőségünk van:
-
Közvetlenül alkalmazzuk a szabályt:
$$ \left(\frac{6}{8}\right)^2 = \frac{6^2}{8^2} = \frac{36}{64} $$
Ezt a törtet még egyszerűsíteni kell:
$$ \frac{36}{64} = \frac{9 \times 4}{16 \times 4} = \frac{9}{16} $$ -
Először egyszerűsítjük a törtet:
$$ \frac{6}{8} = \frac{2 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{4} $$
Most emeljük hatványra az egyszerűsített törtet:
$$ \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $$
Mindkét módszer ugyanazt az eredményt adja, de az egyszerűsítés előzetes elvégzése gyakran megkönnyíti a számítást, különösen nagyobb számok vagy magasabb kitevők esetén.
Negatív számláló vagy nevező
Ha a tört számlálója vagy nevezője negatív, a hatványozás szabályai itt is érvényesek. Fontos azonban figyelni az előjelekre, különösen, ha a kitevő páratlan vagy páros.
- Páros kitevő: Bármely negatív szám páros kitevőre emelve pozitív eredményt ad.
- Páratlan kitevő: Bármely negatív szám páratlan kitevőre emelve negatív eredményt ad.
Példa 11: Számítsuk ki a $\left(\frac{-2}{3}\right)^2$ értékét.
A kitevő ($2$) páros.
$$ \left(\frac{-2}{3}\right)^2 = \frac{(-2)^2}{3^2} = \frac{4}{9} $$
Példa 12: Számítsuk ki a $\left(\frac{2}{-3}\right)^3$ értékét.
A kitevő ($3$) páratlan.
$$ \left(\frac{2}{-3}\right)^3 = \frac{2^3}{(-3)^3} = \frac{8}{-27} = -\frac{8}{27} $$
Megjegyzés: A negatív előjel általában a tört elé kerül, ha lehetséges.
Törtek hatványozása racionális kitevővel
Bár ez a téma már túlmutat a legegyszerűbb törtek hatványozásán, fontos megemlíteni, hogy a törtek (és általában a valós számok) emelhetők racionális kitevőre is. Egy $\frac{m}{n}$ racionális kitevő azt jelenti, hogy az alapszám $n$-edik gyökének $m$-edik hatványa, vagy az alapszám $m$-edik hatványának $n$-edik gyöke.
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^m} = \left(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\right)^m $$
Példa 13: Számítsuk ki a $\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{1}{4}}$ értékét.
Ez azt jelenti, hogy keressük azt a számot, amelynek negyedik hatványa $\frac{16}{81}$.
$$ \left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} $$
Tudjuk, hogy $2^4 = 16$ és $3^4 = 81$. Tehát:
$$ \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{2}{3} $$
A racionális kitevővel való hatványozás további lehetőségeket nyit meg a matematikai problémák megoldásában, és összekapcsolja a hatványozást a gyökvonással.
"A matematika szépsége a rendszerekben rejlik. A törtek hatványozásának szabályai csupán egy kis szelete ennek a nagyszerű rendszernek, amely lehetővé teszi, hogy átlássuk és kezelni tudjuk a számok világát."
A következő táblázat összefoglalja a leggyakrabban használt szabályokat, hogy könnyen áttekinthetővé tegyük őket.
Összefoglaló táblázat a törtek hatványozásának alapvető szabályairól
| Szabály (formális) | Leírás | Példa | Eredmény |
|---|---|---|---|
| $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $ | A kitevő kiterjesztése a számlálóra és a nevezőre. | $ \left(\frac{2}{3}\right)^3 $ | $ \frac{8}{27} $ |
| $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n $ | Negatív kitevő esetén a tört reciprokát vesszük, és a kitevő előjelét pozitívra változtatjuk. | $ \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} $ | $ 16 $ |
| $ \left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 $ | Bármely nem nulla tört nulladik hatványa 1. | $ \left(\frac{5}{7}\right)^0 $ | $ 1 $ |
| $ \left(\frac{a}{b}\right)^1 = \frac{a}{b} $ | Bármely tört első hatványa önmaga. | $ \left(\frac{4}{9}\right)^1 $ | $ \frac{4}{9} $ |
| $ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \times n} $ | Hatalom emelése hatványra: a kitevőket összeszorozzuk. | $ \left(\left(\frac{2}{5}\right)^2\right)^3 $ | $ \left(\frac{2}{5}\right)^6 = \frac{64}{15625} $ |
| $ \left(\frac{a}{b}\right)^m \times \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} $ | Azonos alapú hatványok szorzata: a kitevőket összeadjuk. | $ \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 $ | $ \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{243}{1024} $ |
| $ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} $ | Azonos alapú hatványok osztása: a kitevőket kivonjuk. | $ \left(\frac{1}{2}\right)^5 \div \left(\frac{1}{2}\right)^2 $ | $ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} $ |
| $ \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{\frac{a^m}{b^m}} $ | Racionális kitevős hatványozás: a kitevő gyök- és hatványjelölést is magában foglal. | $ \left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{1}{2}} $ | $ \frac{3}{4} $ |
Egy másik hasznos táblázat, amely a különböző műveleteket és azok eredményeit mutatja be, különösen, ha a törteket nem "egyszerűsített" formában dolgozzuk fel.
Műveletek és eredmények szemléltetése különböző kitevőkkel
| Alap tört (egyszerűsítetlen) | Kitevő | Művelet | Lépések | Végeredmény (egyszerűsítve) |
|---|---|---|---|---|
| $ \frac{4}{6} $ | $ 2 $ | Egyszerű hatványozás | $ \left(\frac{4}{6}\right)^2 = \frac{4^2}{6^2} = \frac{16}{36} $ | $ \frac{4}{9} $ |
| $ \frac{9}{12} $ | $ 3 $ | Hatványozás, majd egyszerűsítés | $ \left(\frac{9}{12}\right)^3 = \frac{9^3}{12^3} = \frac{729}{1728} $. Egyszerűsítve: $ \frac{729}{1728} = \frac{243 \times 3}{576 \times 3} = \frac{243}{576} = \frac{81 \times 3}{192 \times 3} = \frac{81}{192} = \frac{27 \times 3}{64 \times 3} = \frac{27}{64} $ |
$ \frac{27}{64} $ |
| $ \frac{10}{15} $ | $ -2 $ | Negatív kitevő, majd hatványozás | $ \left(\frac{10}{15}\right)^{-2} = \left(\frac{15}{10}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} $ | $ \frac{9}{4} $ |
| $ \frac{12}{18} $ | $ 0 $ | Nulladik hatvány | $ \left(\frac{12}{18}\right)^0 = 1 $ | $ 1 $ |
| $ \frac{7}{21} $ | $ 2 $ | Egyszerűsítés előbb, majd hatványozás | $ \frac{7}{21} = \frac{1}{3} $. $ \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9} $ |
$ \frac{1}{9} $ |
Ez a táblázat jól szemlélteti, hogy a különböző megközelítések (egyszerűsítés előtt vagy után) ugyanazhoz a végeredményhez vezetnek, de az egyszerűsítés elősegíti a kisebb számokkal való munkát.
"A matematika nem csak a számokról szól, hanem a módszerekről is. A törtek hatványozásának elsajátítása azt is jelenti, hogy megtanuljuk a hatékony problémamegoldás különböző útjait."
Gyakorlati feladatok és példák megoldásokkal
Az elméleti szabályok megértése csak az első lépés. A valódi magabiztosság akkor alakul ki, amikor elkezdünk gyakorolni. Most következzen néhány gyakorlati feladat, amelyek segítenek elmélyíteni a törtek hatványozásának tudását.
1. Feladat: Számítsa ki a következő kifejezés értékét:
$$ \left(\frac{3}{5}\right)^2 \times \left(\frac{5}{3}\right)^3 $$
Megoldás:
Először alkalmazzuk az első szabályt a hatványozásra:
$$ \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25} $$
$$ \left(\frac{5}{3}\right)^3 = \frac{5^3}{3^3} = \frac{125}{27} $$
Most megszorozzuk a két eredményt:
$$ \frac{9}{25} \times \frac{125}{27} $$
Egyszerűsítsünk, mielőtt megszorozzuk a számlálókat és a nevezőket.
A 9 és a 27 osztható 9-cel ($9 \div 9 = 1$, $27 \div 9 = 3$).
A 125 és a 25 osztható 25-tel ($125 \div 25 = 5$, $25 \div 25 = 1$).
Tehát:
$$ \frac{1}{1} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{3} $$
A kifejezés értéke $ \frac{5}{3} $.
2. Feladat: Oldja meg a következő egyenletet $x$ értékére:
$$ \left(\frac{x}{2}\right)^3 = \frac{27}{8} $$
Megoldás:
Alkalmazzuk a szabályt, hogy a kitevő mind a számlálóra, mind a nevezőre vonatkozik:
$$ \frac{x^3}{2^3} = \frac{27}{8} $$
Kiszámoljuk a nevező hatványát: $2^3 = 8$.
$$ \frac{x^3}{8} = \frac{27}{8} $$
Most már láthatjuk, hogy a számlálóknak is meg kell egyezniük:
$$ x^3 = 27 $$
Megkeressük azt a számot, amelynek köbe 27. Ez a 3, mivel $3 \times 3 \times 3 = 27$.
$$ x = 3 $$
Tehát az $x$ értéke 3.
3. Feladat: Számítsa ki a következő kifejezés értékét:
$$ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} + \left(\frac{1}{4}\right)^0 $$
Megoldás:
Először számoljuk ki a két tagot külön-külön.
Az első tag: negatív kitevő esetén megfordítjuk a törtet és a kitevőt pozitívra váltjuk:
$$ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 $$
Most alkalmazzuk az alapvető szabályt:
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} $$
A második tag: nulladik hatvány minden nem nulla számnál 1:
$$ \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1 $$
Most összeadjuk a két eredményt:
$$ \frac{9}{4} + 1 $$
Az 1-et írjuk át törtté, hogy össze tudjuk adni: $1 = \frac{4}{4}$.
$$ \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9+4}{4} = \frac{13}{4} $$
A kifejezés értéke $ \frac{13}{4} $.
4. Feladat: Egyszerűsítse a következő kifejezést:
$$ \frac{\left(\frac{4}{5}\right)^3}{\left(\frac{4}{5}\right)^2} $$
Megoldás:
Mivel az alapok azonosak, a kitevőket kivonhatjuk egymásból (osztás szabálya):
$$ \left(\frac{4}{5}\right)^{3-2} = \left(\frac{4}{5}\right)^1 $$
Minden szám első hatványa önmaga:
$$ \left(\frac{4}{5}\right)^1 = \frac{4}{5} $$
Tehát az egyszerűsített kifejezés $ \frac{4}{5} $.
5. Feladat: Számítsa ki a $\left(2\frac{1}{4}\right)^2$ értékét.
Megoldás:
Először alakítsuk át a vegyes számot nem megfelelő törtté:
$$ 2\frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} $$
Most emeljük hatványra az eredményt:
$$ \left(\frac{9}{4}\right)^2 = \frac{9^2}{4^2} = \frac{81}{16} $$
Az eredmény $ \frac{81}{16} $. Visszaalakíthatjuk vegyes számmá is: $5\frac{1}{16}$.
Ezek a feladatok a legfontosabb szabályokat fedik le, és segítenek abban, hogy a gyakorlatban is magabiztosan alkalmazzuk a tanultakat.
"A gyakorlás elengedhetetlen. Az a tudás, amit nem alkalmazunk, elveszti értékét. A törtek hatványozásának szabályai akkor válnak igazán a miénkké, amikor sokféle feladaton keresztül tesszük őket próbára."
Gyakran ismételt kérdések (FAQ)
Mikor használhatom a $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $ szabályt?
H3
Ezt a szabályt bármikor alkalmazhatja, amikor egy törtet egy pozitív egész kitevőre emel. Ez az egyik alapvető szabály a törtek hatványozásában.
Mi a teendő, ha a tört negatív kitevővel van ellátva?
H3
Ha egy tört negatív kitevővel van ellátva, például $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} $, akkor a tört reciprokát kell venni (vagyis felcserélni a számlálót és a nevezőt), és a kitevő előjelét pozitívra változtatni. Tehát $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n $.
Mi történik, ha egy törtet nulladik hatványra emelek?
H3
Bármely nem nulla szám nulladik hatványa 1. Ez a szabály a törtekre is érvényes. Tehát, ha a tört számlálója és nevezője sem nulla, akkor az eredmény mindig 1 lesz, például $ \left(\frac{3}{7}\right)^0 = 1 $.
Hogyan számolhatom ki a $ \left(\frac{a}{b}\right)^m \times \left(\frac{a}{b}\right)^n $ kifejezést?
H3
Ha azonos alapú törteket szoroz össze, akkor a kitevőket össze kell adni: $ \left(\frac{a}{b}\right)^m \times \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} $.
Hogyan számolhatom ki a $ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n $ kifejezést?
H3
Ha azonos alapú törteket osztunk, akkor a kitevőket ki kell vonni egymásból: $ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} $.
Mi a teendő vegyes számokkal a hatványozás során?
H3
Mielőtt vegyes számot hatványozna, mindig át kell alakítani azt nem megfelelő törtté. Például, ha $ 1\frac{1}{2} $-et szeretne hatványozni, először alakítsa át $ \frac{3}{2} $-vé, majd végezze el a hatványozást.
Érdemes egyszerűsíteni a törtet a hatványozás előtt?
H3
Igen, általában érdemes. Ha a tört egyszerűsíthető, akkor a hatványozás kisebb számokkal történik, ami megkönnyíti a számítást és csökkenti a hibalehetőségeket. Azonban a szabályok helyes alkalmazásával a nem egyszerűsített tört hatványozása is ugyanazt az eredményt adja, csak több számolással.
