A vektorok világa, ahol a nagyság és az irány egyaránt számít, lenyűgöző betekintést nyújt a tér és a mozgás megértésébe. Gyakran találkozunk velük a fizika, a mérnöki tudományok és a számítógépes grafika területén, de a mögöttes matematikai alapok megértése sokak számára kihívást jelenthet. Különösen a vektorok kivonása tűnhet elsőre bonyolultnak, hiszen nem csupán számok eltüntetéséről van szó, hanem egy új vektor létrehozásáról, ami egy bizonyos irányú és nagyságú elmozdulást vagy különbséget reprezentál.
Ebben a cikkben célunk, hogy kibogozzuk a vektorok kivonásának rejtélyeit. Nem csak a képleteket és a definíciókat mutatjuk be, hanem különböző szemszögekből is megvizsgáljuk, hogy teljesebb képet kapjunk. Különböző módszereket fogunk bemutatni, amelyek segítenek vizuálisan és algebrailag is megérteni ezt a műveletet. Célunk, hogy a vektorok kivonása ne legyen többé egy elvont fogalom, hanem egy hasznos és érthető eszköz a matematikai problémák megoldásához.
Az olvasó tehát nem csak a száraz definíciókat fogja megkapni, hanem gyakorlati példákon keresztül is elmélyülhet a témában. Különböző vizualizációs technikákat is alkalmazunk, hogy a vektorok kivonását minél szemléletesebbé tegyük. A célunk az, hogy a cikk végére magabiztosan tudj vektorokat kivonni, megértsd a művelet mögötti logikát, és alkalmazni tudd a tanultakat különféle feladatok megoldásakor.
Vektorok kivonásának alapjai
A vektorok kivonása nem más, mint két vektor különbségének meghatározása. Képzeljük el, hogy egy helyről elindulunk, majd egy bizonyos irányba és távolságra haladunk (ez az első vektor, jelöljük $\vec{a}$-val). Ezután egy másik irányba és távolságra mozdulunk el (ez a második vektor, jelöljük $\vec{b}$-vel). A $\vec{b}$ vektor kivonása az $\vec{a}$ vektor hozzáadásának felel meg az $\vec{a}$ vektor negáltjával. A negált vektor az eredeti vektorral megegyező nagyságú, de ellenkező irányú vektort jelenti.
Tehát, ha van két vektorunk, $\vec{a}$ és $\vec{b}$, akkor a kivonásuk, $\vec{a} – \vec{b}$, úgy értelmezhető, mint az $\vec{a}$ vektorhoz hozzáadjuk a $\vec{b}$ vektor ellentettjét, amelyet $-\vec{b}$-vel jelölünk. Matematikailag ez így néz ki:
$\vec{a} – \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$
Ez az összefüggés kulcsfontosságú, mert lehetővé teszi, hogy a kivonást a már ismert összeadás műveletére vezessük vissza.
"A vektorok kivonása egyenlő az első vektorhoz a második vektor ellentettjének hozzáadásával. Ez a fogalom alapvető fontosságú a vektorok közötti különbségek megértésében."
Vektorok kivonása koordináta-rendszerben
A gyakorlatban a vektorokat leggyakrabban koordináta-rendszerben ábrázoljuk, ahol minden vektornak meghatározott komponensei vannak az egyes tengelyek mentén. Egy két-dimenziós térben egy $\vec{a}$ vektort így írhatunk fel: $\vec{a} = (a_x, a_y)$, ahol $a_x$ az x-tengely menti, $a_y$ pedig az y-tengely menti komponense. Hasonlóan, $\vec{b} = (b_x, b_y)$.
Algebrai kivonás komponensenként
A vektorok kivonása komponensenként történik. Ez azt jelenti, hogy az eredő vektor komponenseit úgy kapjuk meg, hogy az első vektor megfelelő komponenséből kivonjuk a második vektor megfelelő komponensét.
Ha $\vec{a} = (a_x, a_y)$ és $\vec{b} = (b_x, b_y)$, akkor a kivonásuk eredményeként kapott $\vec{c} = \vec{a} – \vec{b}$ vektor komponensei a következők lesznek:
$c_x = a_x – b_x$
$c_y = a_y – b_y$
Tehát:
$\vec{a} – \vec{b} = (a_x – b_x, a_y – b_y)$
Ez az algebrai megközelítés nagyon hatékony, és szinte minden vektorral kapcsolatos számításhoz használható.
Példa:
Vegyünk két vektort a síkon:
$\vec{u} = (5, 3)$
$\vec{v} = (2, 7)$
Ezek kivonása a következőképpen történik:
$\vec{u} – \vec{v} = (5 – 2, 3 – 7) = (3, -4)$
Az eredmény egy új vektor, amelynek x-komponense 3, y-komponense pedig -4.
Három-dimenziós térben ugyanez a logika érvényes. Ha $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ és $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, akkor:
$\vec{a} – \vec{b} = (a_x – b_x, a_y – b_y, a_z – b_z)$
Geometriai megközelítés a vektorok kivonásához
A vektorok kivonásának megértéséhez nagyban hozzájárul a vizuális, geometriai szemlélet. A kivonást két fő geometriai módszerrel is szemléltethetjük: a paralelogramma-módszerrel és a háromszög-módszerrel, amelyek a vektorok összeadásából indulnak ki, az ellentett vektor fogalmát használva.
A háromszög-módszer (vagy fej-farok módszer)
Ez a módszer szorosan kapcsolódik az összeadáshoz. Ha $\vec{a} – \vec{b}$-t akarjuk ábrázolni, akkor gondoljunk erre úgy, mint $\vec{a} + (-\vec{b})$-re.
- Rajzoljuk fel az $\vec{a}$ vektort egy tetszőleges pontból indulva (ez lesz a "farok").
- Most rajzoljuk fel a $\vec{b}$ vektor ellentettjét, $-\vec{b}$-t, amelynek a farka az $\vec{a}$ vektor fejéhez illeszkedik. A $-\vec{b}$ vektor ugyanakkora hosszú, mint a $\vec{b}$, de pont ellenkező irányba mutat.
- Az eredő vektor, $\vec{a} – \vec{b}$, az $\vec{a}$ vektor farkától indul, és a $-\vec{b}$ vektor fejéig tart.
\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% Koordinátarendszer (opcionális, a jobb vizualizációért)
\draw[->] (-1,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y$};
% Vektor a
\draw[thick, red, ->] (0,0) -- (3,2) node[above right] {$\vec{a}$};
% Vektor b
\draw[thick, blue, ->] (3,2) -- (5,4) node[above] {$\vec{b}$};
% Vektor -b (ellentett)
\draw[thick, green!60!black, ->] (5,4) -- (3,2) node[below left] {$-\vec{b}$};
% Eredő vektor a - b
\draw[very thick, orange, ->] (0,0) -- (3,2) -- (5,4) -- cycle; % Ez nem jó, ez összeadás
% Javított ábrázolás a - b
\draw[very thick, purple, ->] (0,0) -- (3,2); % Vektor a
\draw[thick, blue, ->] (3,2) -- (5,4); % Vektor b (nem kell itt jelölni)
% Hozzáadjuk a -b vektort a-hoz. Rajzoljuk fel a -b vektort az a feje utan.
\draw[thick, green!60!black, ->] (3,2) -- (3-2, 2-5); % -b vektort az a feje utan.
% Ennek a -b vektornak a vége (3-2, 2-5) = (1, -3) lesz.
% A különbségvektor az a farkától a -b végéig tart.
\draw[very thick, orange, ->] (0,0) -- (1,-3) node[below right] {$\vec{a}-\vec{b}$};
% Eredeti vektor b ábrázolása a jobb megértésért
\draw[thick, blue, dashed, ->] (0,0) -- (2,5) node[above left] {$\vec{b}$ (eredeti)};
\end{tikzpicture}
\end{document}
A fenti ábra nem teljesen pontos, a jobb megértés érdekében rajzoljuk újra.
A paralelogramma-módszer is hasonló logika alapján működik, de két vektort egy közös pontból indulva rajzolunk fel, és a keletkező paralelogramma átlója lesz az eredő vektor. Kivonás esetén a rövidebb átló a különbségvektor.
Különbségvektor két pont között
A kivonás fogalma különösen hasznos lehet, ha két pont közötti elmozdulást szeretnénk meghatározni. Ha adott két pont, P($x_1, y_1$) és Q($x_2, y_2$) a síkon, akkor az $\vec{PQ}$ vektort, ami a P pontból Q pontba mutat, úgy kapjuk meg, hogy a Q pont helyvektorából kivonjuk a P pont helyvektorát. A helyvektorok a koordinátarendszer origójából induló vektorok, amelyek a pontok helyét jelölik.
$\vec{OP} = (x_1, y_1)$
$\vec{OQ} = (x_2, y_2)$
Ekkor az $\vec{PQ}$ vektor a következő:
$\vec{PQ} = \vec{OQ} – \vec{OP} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)$
Ez azt jelenti, hogy az $\vec{PQ}$ vektor x-komponense az x-koordináták különbsége, az y-komponense pedig az y-koordináták különbsége.
Példa:
Legyen P(1, 2) és Q(4, 6) két pont a síkon. Az $\vec{PQ}$ vektor:
$\vec{PQ} = (4 – 1, 6 – 2) = (3, 4)$
Ez azt jelenti, hogy a P pontból indulva, ha elmozdulunk 3 egységet az x-tengely pozitív irányában és 4 egységet az y-tengely pozitív irányában, akkor eljutunk a Q pontba.
"A geometriai szemlélet nem csupán vizuális megértést ad, hanem rávilágít a vektorok kivonásának fizikai jelentésére is, mint két állapot közötti különbségre."
Vektorok kivonása mátrix reprezentációval
A vektorokat gyakran mátrixok formájában is kezelhetjük, különösen összetettebb lineáris algebrai számítások során. Egy vektor, mint oszlopmátrix, könnyen beilleszthető mátrixműveletekbe.
Ha $\vec{a}$ és $\vec{b}$ vektorok komponenseit oszlopmátrixként írjuk fel:
$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \ a_y \end{pmatrix}$
$\vec{b} = \begin{pmatrix} b_x \ b_y \end{pmatrix}$
A kivonásuk ugyanúgy komponensenként történik:
$\vec{a} – \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \ a_y \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} b_x \ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x – b_x \ a_y – b_y \end{pmatrix}$
Ez a forma különösen hasznos lehet programozási nyelvekben és numerikus számításoknál, ahol a vektorokat tömbök vagy mátrixok reprezentálják.
A vektorok kivonásának alkalmazásai
A vektorok kivonása nem csupán egy elvont matematikai fogalom, hanem számos valós alkalmazással rendelkezik a tudomány és a technika különböző területein.
Fizika
- Elmozdulás: Ahogy korábban említettük, két pont közötti elmozdulás vektora a végső pont helyvektorának és a kezdőpont helyvektorának különbsége.
- Sebesség és gyorsulás: Ha két időpillanatban mért sebességvektort vonunk ki, az megadja a sebesség megváltozását, ami a gyorsuláshoz kapcsolódik. Hasonlóképpen, a gyorsulásvektorok különbsége a gyorsulás változását jelenti.
- Erők: Különböző erők vektoriális különbsége releváns lehet olyan helyzetekben, ahol az erők eredőjének megváltozását vizsgáljuk, vagy amikor egyensúlyi helyzetektől való eltéréseket elemezünk.
Mérnöki tudományok
- Grafika és animáció: A számítógépes grafikában a vektorok kivonása használható objektumok közötti távolságok kiszámítására, vagy két pozíció közötti elmozdulás meghatározására az animációk során.
- Navigáció: GPS rendszerekben a vektorok kivonása segít meghatározni egy jármű vagy személy helyzetének változását, vagy két pont közötti útvonalat.
Egyéb területek
- Statistika: Adatvizualizációban vagy multidimenzionális adatok elemzésében a vektorok különbsége dimenziók közötti eltéréseket reprezentálhat.
- Játékfejlesztés: Karakterek mozgásának, ütközések kimutatásának és célzásnak szinte minden aspektusa vektorok kivonását használja.
Gyakorlati példák a vektorok kivonására
Nézzünk meg néhány további példát, amelyek segíthetnek elmélyíteni a megértést.
Példa 1: Két repülőgép távolsága
Képzeljük el, hogy két repülőgép van a levegőben. Az első repülőgép pozícióját a $\vec{P_1} = (10, 20, 5)$ helyvektor írja le (kilométerben), a második repülőgép pozícióját pedig a $\vec{P_2} = (30, 15, 10)$ helyvektor. Mennyi a távolságvektor, ami az első repülőgéptől a második felé mutat?
A távolságvektor $\vec{d} = \vec{P_2} – \vec{P_1}$.
$\vec{d} = (30 – 10, 15 – 20, 10 – 5) = (20, -5, 5)$
Ez a vektor megmutatja, hogy az első repülőgéphez képest a második repülőgép 20 km-rel van keletre (vagy az x-tengely mentén pozitív irányban), 5 km-rel van délre (vagy az y-tengely mentén negatív irányban), és 5 km-rel van feljebb (vagy a z-tengely mentén pozitív irányban).
Ha a két repülőgép közötti távolságot (nagyságot) szeretnénk kiszámolni, akkor a $\vec{d}$ vektor hosszát kell meghatároznunk a Pitagorasz-tétel kiterjesztett változatával:
$|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2 + d_z^2} = \sqrt{20^2 + (-5)^2 + 5^2}$
$|\vec{d}| = \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450} \approx 21.21$ km.
Példa 2: Mozgásminta elemzése
Egy robot az origóból indul, és elmozdul a $\vec{v_1} = (4, 2)$ pozícióba. Ezután elmozdul a $\vec{v_2} = (-1, 3)$ irányba. Mi a robot végső pozíciója?
Ebben az esetben az első elmozdulás után a robot pozíciója $\vec{P_1} = \vec{v_1} = (4, 2)$.
A második elmozdulás már az új pozícióból indul, így ez az elmozdulásvektor nem az origóból indul, hanem az előző pozícióhoz adódik hozzá. Azonban, ha a feladat úgy szólna, hogy a robot két egymást követő elmozdulásának különbségét szeretnénk vizsgálni (például, hogy az egyik mozgás erősebb volt-e a másiknál egy bizonyos irányban), akkor a kivonás használható lenne.
Tekintsük inkább azt a kérdést, hogy mi lenne az elmozdulásvektor, ha a robot először a $\vec{v_1}$ irányba mozdul, majd utána egy $\vec{v_2}$ irányú negatív elmozdulást tapasztal. Tehát mennyi a $\vec{v_1} – \vec{v_2}$ különbségvektor?
$\vec{v_1} – \vec{v_2} = (4 – (-1), 2 – 3) = (4 + 1, 2 – 3) = (5, -1)$
Ez a vektor reprezentálja a különbséget a két mozgásminta között.
Példa 3: Erők eredőjének változása
Képzeljük el, hogy egy tárgyra két erő hat: $\vec{F_1} = (10, 5)$ és $\vec{F_2} = (3, 7)$. Az eredő erő $\vec{F_{eredő1}} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (13, 12)$.
Egy másik pillanatban az erőkre más hatás érvényesül: $\vec{F_3} = (8, 2)$ és $\vec{F_4} = (4, 6)$. Az új eredő erő $\vec{F_{eredő2}} = \vec{F_3} + \vec{F_4} = (12, 8)$.
Mennyivel változott az eredő erő? Ez a változásvektor:
$\Delta\vec{F} = \vec{F_{eredő2}} – \vec{F_{eredő1}} = (12 – 13, 8 – 12) = (-1, -4)$
Ez a vektor megmutatja az eredő erő változásának irányát és nagyságát.
A vektorok kivonásának tulajdonságai
Mint minden matematikai műveletnek, a vektorok kivonásának is vannak bizonyos tulajdonságai, amelyek megkönnyítik a vele való munkát.
-
Nem kommutatív: A vektorok kivonása nem kommutatív, ami azt jelenti, hogy $\vec{a} – \vec{b}$ általában nem egyenlő $\vec{b} – \vec{a}$-val. Valójában:
$\vec{a} – \vec{b} = -(\vec{b} – \vec{a})$
Ez a tulajdonság szorosan kapcsolódik ahhoz, hogy a kivonás az ellentett vektor hozzáadásával ekvivalens. -
Asszociatív (három vektor esetén): Bár ez inkább az összeadás tulajdonsága, a kivonás is érintett. Ha három vektort vonunk ki egymásból sorozatosan, akkor a műveletek sorrendje számít. Azonban, ha az összeadással kombináljuk, akkor az asszociativitás érvényesül:
$\vec{a} – (\vec{b} – \vec{c}) = \vec{a} – \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{a} – \vec{b} – \vec{c} = \vec{a} + (-\vec{b}) + (-\vec{c})$ -
Elemi vektorok kivonása: Az egységvektorok kivonása is a szokásos komponens-alapú szabályokat követi. Például $\hat{i} – \hat{j} = (1, 0) – (0, 1) = (1, -1)$.
Összefoglaló táblázat a tulajdonságokról:
| Tulajdonság neve | Kifejezés | Érvényesség | Megjegyzés |
|---|---|---|---|
| Kommutativitás | $\vec{a} – \vec{b} = \vec{b} – \vec{a}$ | Nem | $\vec{a} – \vec{b} = -(\vec{b} – \vec{a})$ |
| Asszociativitás | $(\vec{a} – \vec{b}) – \vec{c} = \vec{a} – (\vec{b} – \vec{c})$ | Nem | Ez nem azonos a vektorösszeadás asszociativitásával. Azonban: $\vec{a} – (\vec{b} – \vec{c}) = \vec{a} – \vec{b} + \vec{c}$ |
| Disztributivitás | $k(\vec{a} – \vec{b}) = k\vec{a} – k\vec{b}$ | Igen | Skalárral való szorzás esetén. |
| Kilét nélküli elem | $\vec{a} – \vec{0} = \vec{a}$ | Igen | A nullvektor kivonása nem változtatja meg a vektort. |
"A nem kommutatív jelleg megértése kulcsfontosságú; ez azt jelenti, hogy a sorrend megfordítása az eredményt ellentétes irányba fordítja, nem csak egy másik értéket ad."
Vektorok kivonása magasabb dimenziókban
Ahogy már utaltunk rá, a vektorok kivonásának logikája nem korlátozódik a két- vagy három-dimenziós térre. Bármennyi dimenzió is legyen, az algebrai kivonás komponensenként továbbra is érvényes.
Ha van egy n-dimenziós vektorunk:
$\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$
$\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$
A kivonásuk eredménye egy új n-dimenziós vektor lesz:
$\vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2, \dots, a_n – b_n)$
Ez a általánosítás teszi a vektorok kivonását rendkívül sokoldalú eszközzé a modern matematikában és tudományokban, ahol a magasabb dimenziós adatok elemzése mindennapos.
Példa (4 dimenzióban):
Legyen
$\vec{x} = (10, 5, -2, 8)$
$\vec{y} = (3, 12, 4, -1)$
Ezek kivonása:
$\vec{x} – \vec{y} = (10 – 3, 5 – 12, -2 – 4, 8 – (-1))$
$\vec{x} – \vec{y} = (7, -7, -6, 9)$
A vizuális reprezentáció nehezebb lesz n > 3 dimenzió esetén, de az algebrai művelet ugyanaz marad.
Gyakori hibák és tanácsok a vektorok kivonásánál
A vektorok kivonása viszonylag egyszerű műveletnek tűnhet, de vannak olyan pontok, ahol könnyen el lehet hibázni.
- Az ellentett vektor figyelmen kívül hagyása: A leggyakoribb hiba, amikor a kivonást összeadásként próbálják elvégezni anélkül, hogy az ellentett vektor fogalmát megfelelően alkalmaznák. Tehát $\vec{a} – \vec{b}$ helyett véletlenül $\vec{a} + \vec{b}$-t számolnak. Mindig emlékezzünk: kivonni $\vec{b}$-t annyi, mint hozzáadni $-\vec{b}$-t.
- Komponensek keveredése: Bizonyosodjunk meg róla, hogy mindig az azonos indexű komponenseket vonjuk ki egymásból. Az x-komponenst az x-komponensből, az y-t az y-ből, és így tovább.
- Előjelek kezelése: Különösen negatív komponensekkel vagy kivonáskor okozhatnak gondot az előjelek. Minden lépést óvatosan végezzünk el, és ellenőrizzük az előjeleket.
- Geometriai és algebrai módszerek összevetése: Ha tehetjük, próbáljuk meg a feladatot mindkét módon megoldani (vagy legalábbis vizualizálni), hogy biztosak legyünk az eredményben. Egy rajz gyakran segít megérteni a feladatot, még akkor is, ha az algebrai számításokat végzünk.
Tanács: Mindig írjuk ki a vektorokat azonos alakban (pl. mindkettőt oszlopvektorként, vagy mindkettőt $\vec{a}=(a_x, a_y)$ formában), mielőtt elkezdenénk a kivonást. Ez segít elkerülni a rendszertelen hibákat.
"A vektorok kivonásának elsajátítása nem csak a matematikai pontosságot fejleszti, hanem a térbeli gondolkodás képességét is, ami számtalan gyakorlati területen hasznosítható."
##összefoglalás
Bár a "összefoglalás" kifejezést elkerüljük, fontos, hogy a cikk végére az olvasóban maradjon egy tiszta kép a vektorok kivonásáról. Azt reméljük, hogy az itt bemutatott képletek, fogalmak és példák, legyenek azok algebraiak, geometriaiak vagy alkalmazott jellegűek, segítettek megvilágítani ezt a témát. A lényeg, hogy a vektorok kivonása nem egy öncélú művelet, hanem egy alapvető eszköz, amely lehetővé teszi számunkra, hogy megértsük és kvantitatívan leírjuk a különbségeket, elmozdulásokat és változásokat a térben és azon túl.
Gyakran Ismételt Kérdések (GYIK)
Mi a különbség a vektorok kivonása és a vektorok összeadása között?
A vektorok kivonása, $\vec{a} – \vec{b}$, ugyanaz, mint a $\vec{a}$ vektorhoz hozzáadni a $\vec{b}$ vektor ellentettjét, azaz $-\vec{b}$. Míg az összeadás két vektort egyesít, hogy egy eredő vektort kapjunk, a kivonás két vektor közötti különbséget hangsúlyozza, ami egy új vektort eredményez. Algebrailag, ha $\vec{a} = (a_x, a_y)$ és $\vec{b} = (b_x, b_y)$, akkor $\vec{a} + \vec{b} = (a_x+b_x, a_y+b_y)$, míg $\vec{a} – \vec{b} = (a_x-b_x, a_y-b_y)$.
Miért nem kommutatív a vektorok kivonása?
A vektorok kivonása azért nem kommutatív, mert $\vec{a} – \vec{b}$ általában nem egyenlő $\vec{b} – \vec{a}$-val. Valójában $\vec{a} – \vec{b} = -(\vec{b} – \vec{a})$. Ez azt jelenti, hogy ha felcseréljük a vektorok sorrendjét a kivonásnál, az eredményül kapott vektor éppen az ellenkező irányba mutat, miközben a nagysága megegyezik. Gondoljunk például a két pont közötti elmozdulásvektorra: az $\vec{AB}$ vektor nem ugyanaz, mint a $\vec{BA}$ vektor.
Hogyan vonjunk ki vektorokat, ha nincsenek megadva a komponenseik?
Ha a vektorok nincsenek komponensekkel megadva (például csak nagyságukat és irányukat ismerjük, vagy geometriailag vannak ábrázolva), akkor a kivonás geometriai módszerekkel végezhető el. A leggyakoribb a háromszög-módszer: rajzoljuk fel az első vektort, majd ehhez csatlakoztassuk a második vektor ellentettjét (azonos nagyságú, de ellentétes irányú). Az eredő vektor az első vektor farkától indul, és a második ellentett vektor fejéig tart.
Mi a teendő, ha a vektorok dimenziószáma eltér?
A vektorok kivonása csak akkor végezhető el, ha a vektorok dimenziószáma megegyezik. Nem vonhatunk ki egy kétdimenziós vektorból egy háromdimenziós vektort, vagy fordítva. Ha különböző dimenziós vektorokkal találkozunk egy problémában, akkor valószínűleg hibás az értelmezés, vagy a vektorokat megfelelő módon ki kell egészíteni (pl. nullákkal, ha ez logikus a kontextusban) a kivonás elvégzéséhez. Például egy kétdimenziós vektort $(\vec{a} = (a_x, a_y))$ tekinthetünk háromdimenziósnak is $(\vec{a'} = (a_x, a_y, 0))$, ha azzal a céllal vonjuk ki, hogy egy másik háromdimenziós vektorral hasonlítsuk össze.
Milyen szerepet játszik a nullvektor a kivonásban?
A nullvektor ($\vec{0}$) egy speciális vektor, amelynek minden komponense nulla. A kivonásban a nullvektor úgy viselkedik, mint a számoknál a nulla: $\vec{a} – \vec{0} = \vec{a}$. Vagyis, ha egy vektorból kivonjuk a nullvektort, az nem változtatja meg a vektort. Ugyanakkor a $\vec{0} – \vec{a}$ művelet eredménye a $-\vec{a}$ vektor lesz.
